Encontre o valor de k para que os vetores sejam paralelos:
\vec{u}=(k, 2,-1), \quad \vec{v}=(3,6,-3) .

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=(k,2,-1) e \vec{v}=(3,6,-3) e pede: encontrar o valor de k para que os vetores sejam paralelos. Informações dadas:
  • \vec{u}=(k,2,-1).
  • \vec{v}=(3,6,-3).
  • Pedido: determinar k tal que \vec{u} e \vec{v} sejam paralelos.

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar): dois vetores não nulos são paralelos se, e somente se, um for múltiplo escalar do outro. Isto significa que existe um número real \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\,\vec{v}.
Aqui \lambda é o fator que escalona todos os componentes de \vec{v} para obter \vec{u}. Se encontrarmos um \lambda que satisfaz todas as componentes simultaneamente, os vetores são paralelos.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente usando \vec{u}=\lambda\vec{v}:
(k,2,-1)=\lambda(3,6,-3).
Isso gera o sistema de três equações:
k=3\lambda,\qquad 2=6\lambda,\qquad -1=-3\lambda.
Cada equação corresponde à igualdade das componentes x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Resolver a segunda equação para \lambda:
2=6\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
Expliquei: dividiu-se ambos os lados por 6 para isolar \lambda.

Passo 5

Verificar a terceira equação para consistência:
-1=-3\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}.
Como obtemos o mesmo valor \lambda=\dfrac{1}{3} nas duas equações, as componentes y e z são consistentes — ótimo, isso confirma que existe um \lambda que funciona.

Passo 6

Agora usar \lambda=\dfrac{1}{3} na primeira equação para achar k:
k=3\lambda=3\cdot\dfrac{1}{3}=1.
Portanto k tem que ser 1 para que as três componentes se alinhem com o mesmo \lambda.

Passo 7

Checagem rápida e interpretação: com k=1 temos \vec{u}=(1,2,-1). Como \vec{v}=3\cdot(1,2,-1)=3\vec{u}, de fato \vec{v} e \vec{u} são paralelos (mesma direção, escalonados). Tudo consistente.

Resposta

k=1

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