- Interpretação geométrica do produto vetorial.
Explique o significado geométrico das expressões abaixo e o que elas indicam sobre os vetores
e
.
Em sua resposta, comente sobre:
- a posição relativa dos vetores
- a área do paralelogramo formado por eles.
b)
Em sua resposta, comente sobre:
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
e pede que eu explique geometricamente o que isso significa, comentando sobre:
- a posição relativa dos vetores
e ; - a área do paralelogramo formado por
e .
Passo 2
Vou lembrar uma relação fundamental do produto vetorial que vou usar (e explicar o que cada símbolo significa):
Aqui:
-
é o comprimento (norma) do vetor ; -
é o comprimento do vetor ; -
é o ângulo entre e , com ; -
é o módulo (comprimento) do produto vetorial .
Explicação didática dessa fórmula: se colocar
como “base” do paralelogramo, a altura relativa a essa base é
(porque a componente de
perpendicular a
vale
). A área do paralelogramo então é
Portanto a igualdade anterior diz que o módulo do produto vetorial é exatamente a área do paralelogramo formado por
e
:
Passo 3
Agora uso a fórmula para interpretar a condição
. Substituindo:
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem três possibilidades (mutuamente não exclusivas):
-
, ou seja é o vetor nulo. -
, ou seja é o vetor nulo. -
, o que significa que ou .
Passo 4
Interpretações geométricas de cada caso:
- Se
ou : um dos vetores tem comprimento zero, logo não há “paralelogramo com área” — a figura colapsa e a área é . - Se
ou : os vetores são colineares (ou seja, estão sobre a mesma reta), apontando no mesmo sentido ( ) ou em sentidos opostos ( ). Na linguagem habitual: é múltiplo escalar de , existe tal que . Nesse caso o paralelogramo degenerado tem altura zero, logo área .
Em todos os casos acima o produto vetorial é o vetor nulo:
ou seja, não há uma direção perpendicular bem definida porque a magnitude é zero.
Passo 5
Exemplos curtos (para fixar):
- Se
e , então , vetores colineares. Calculando,
e a área do paralelogramo é
.
- Se
e , então , , e
a área é positiva — contraste com o caso zero.
Passo 6
Dicas práticas para a prova:
- Para verificar rapidamente se
é equivalente a checar se e são proporcionais (componentes proporcionais) ou se algum dos vetores é nulo. - Em
pode-se checar pela determinante (que corresponde ao componente do produto cruzado) — se a determinante é zero, a área é zero e os vetores são colineares.
Resposta
Os vetores são colineares (um é múltiplo escalar do outro) ou pelo menos um deles é o vetor nulo; geometricamente estão sobre a mesma reta (mesmo sentido ou sentido oposto) ou um é nulo.
A área do paralelogramo formado por e
é
.
A área do paralelogramo formado por