1. Interpretação geométrica do produto vetorial.
Explique o significado geométrico das expressões abaixo e o que elas indicam sobre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
Em sua resposta, comente sobre:
  • a posição relativa dos vetores
  • a área do paralelogramo formado por eles.
b) |\vec{u} \times \vec{v}|=0

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
|\vec{u}\times\vec{v}|=0
e pede que eu explique geometricamente o que isso significa, comentando sobre:
  • a posição relativa dos vetores \vec{u} e \vec{v};
  • a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Vou lembrar uma relação fundamental do produto vetorial que vou usar (e explicar o que cada símbolo significa):
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta.
Aqui:
  • |\vec{u}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{u};
  • |\vec{v}| é o comprimento do vetor \vec{v};
  • \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, com 0\le\theta\le\pi;
  • |\vec{u}\times\vec{v}| é o módulo (comprimento) do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
Explicação didática dessa fórmula: se colocar \vec{u} como “base” do paralelogramo, a altura relativa a essa base é |\vec{v}|\sin\theta (porque a componente de \vec{v} perpendicular a \vec{u} vale |\vec{v}|\sin\theta). A área do paralelogramo então é
\text{área} = \text{base}\times\text{altura} = |\vec{u}|\cdot\big(|\vec{v}|\sin\theta\big) = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta.á
Portanto a igualdade anterior diz que o módulo do produto vetorial é exatamente a área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}:
|\vec{u}\times\vec{v}|=\text{área do paralelogramo determinado por \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).}á

Passo 3

Agora uso a fórmula para interpretar a condição |\vec{u}\times\vec{v}|=0. Substituindo:
|\vec{u}|\;|\vec{v}|\;\sin\theta = 0.
Um produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Assim existem três possibilidades (mutuamente não exclusivas):
  1. |\vec{u}|=0, ou seja \vec{u} é o vetor nulo.
  2. |\vec{v}|=0, ou seja \vec{v} é o vetor nulo.
  3. \sin\theta=0, o que significa que \theta=0 ou \theta=\pi.

Passo 4

Interpretações geométricas de cada caso:
  • Se \vec{u}=\vec{0} ou \vec{v}=\vec{0}: um dos vetores tem comprimento zero, logo não há “paralelogramo com área” — a figura colapsa e a área é 0.
  • Se \theta=0 ou \theta=\pi: os vetores são colineares (ou seja, estão sobre a mesma reta), apontando no mesmo sentido ( \theta=0) ou em sentidos opostos ( \theta=\pi). Na linguagem habitual: \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v}, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}. Nesse caso o paralelogramo degenerado tem altura zero, logo área 0.
Em todos os casos acima o produto vetorial é o vetor nulo:
\vec{u}\times\vec{v}=\vec{0},
ou seja, não há uma direção perpendicular bem definida porque a magnitude é zero.

Passo 5

Exemplos curtos (para fixar):
  • Se \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(2,0,0), então \vec{v}=2\vec{u}, vetores colineares. Calculando,
\vec{u}\times\vec{v}=(1,0,0)\times(2,0,0)=\vec{0},
e a área do paralelogramo é 0.
  • Se \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0), então \theta=\tfrac{\pi}{2}, \sin\theta=1, e
|\vec{u}\times\vec{v}|=1\cdot1\cdot1=1,
a área é positiva — contraste com o caso zero.

Passo 6

Dicas práticas para a prova:
  • Para verificar rapidamente se |\vec{u}\times\vec{v}|=0 é equivalente a checar se \vec{u} e \vec{v} são proporcionais (componentes proporcionais) ou se algum dos vetores é nulo.
  • Em \mathbb{R}^2 pode-se checar pela determinante \det\begin{pmatrix}u_x & v_x\\\ u_y & v_y\end{pmatrix}=0 (que corresponde ao componente z do produto cruzado) — se a determinante é zero, a área é zero e os vetores são colineares.

Resposta

Os vetores são colineares (um é múltiplo escalar do outro) ou pelo menos um deles é o vetor nulo; geometricamente estão sobre a mesma reta (mesmo sentido ou sentido oposto) ou um é nulo.
A área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v} é 0.

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