Encontre o valor dos limites abaixo, caso exista:
lim x 0 raizx+1-1raizx+3-raiz3

Passo 1

O enunciado pede
limxto0raizx+1-1raizx+3-raiz3
ou seja, é um problema de limites com forma indeterminada 0/0. Vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que se lim f(x)=0 e lim g(x)=0, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que essas derivadas existam e o limite de f'(x)/g'(x) exista.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=0, o numerador fica raiz1-1=0 e o denominador fica raiz3-raiz3=0. Logo temos 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador f(x)=raizx+1-1:
f'(x)=12raizx+1
Derivada do denominador g(x)=raizx+3-raiz3:
g'(x)=12raizx+3
Pela Regra de L’Hôpital,
limxto0raizx+1-1raizx+3-raiz3 =limxto0f'(x)g'(x) =limxto012raizx+112raizx+3 =limxto0raizx+3raizx+1

Passo 4

Agora substituímos x=0 na expressão simplificada:
raiz0+3raiz0+1 =raiz31 =raiz3

Resposta

raiz3

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