Obtenha o comprimento das seguintes curvas:
r(t)=(2 t, t^2, 13 t^3), 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva parametrizada por
r(t) = l(2t,;t^2,;tfrac13t^3r) para 0 <= t <= 1.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula de comprimento de uma curva no espaço:
L = integrala^b llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada vetorial r'(t).
r'(t) = l(ddt(2t),;ddt(t^2),;ddtl(tfrac13t^3r)r) = (2,;2t,;t^2)

Passo 3

Agora vamos achar a norma de r'(t):
llVert r'(t)rrVert = raiz2^2 + (2t)^2 + (t^2)^2 = raiz4 + 4t^2 + t^4 = raiz(t^2+2)^2 = t^2 + 2,
pois t^2+2>=0 em [0,1].

Passo 4

Substituímos no integral de comprimento:
L = integral0^1 (t^2+2),dt = [t^33 + 2t]0^1 = 1^33 + 2cdot1 - l(0 + 0r) = 13 + 2 = 73

Resposta

73

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