1. Reflexão: Como a geometria das curvas de nível de f (retas paralelas) e da restrição (circunferência) ajuda a visualizar que existem exatamente um máximo e um mínimo?.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique, usando a geometria das curvas de nível e da restrição, por que existe exatamente um máximo e um mínimo. As informações dadas são:
  • As curvas de nível de f são retas paralelas (ou seja, a família de conjuntos \{(x,y):f(x,y)=k\} são retas de mesma direção).
  • A restrição é uma circunferência (um conjunto \{(x,y):x^{2}+y^{2}=R^{2}\} para algum R>0).
    O objetivo é visualizar e justificar por que, sobre essa circunferência, a função f tem exatamente um ponto onde atinge o valor máximo e exatamente um ponto onde atinge o valor mínimo.

Passo 2

O que são curvas de nível e o que significa que elas sejam retas paralelas.
  • Curva de nível: para qualquer número \;k\;, a curva de nível é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=k\}. Essas curvas mostram onde f tem o mesmo valor.
  • Se todas as curvas de nível são retas paralelas, então existe um vetor fixo (a,b)\neq(0,0) tal que cada curva de nível pode ser escrita (até tradução) como
a x + b y = k,
com k variando. Em palavras: os níveis de f são obtidos deslizando uma mesma reta (de direção perpendicular a (a,b)) no plano.

Passo 3

Intuição geométrica básica: deslizar retas paralelas sobre a circunferência.
Imagine as retas a x + b y = k variando k. Para k muito pequeno a reta fica bem longe de um lado da circunferência; aumentando k a reta desliza na direção normal a ela e começa a cortar a circunferência, depois toca-a (caso limite), depois corta em dois pontos, até finalmente para um k suficientemente grande ela deixa de cortar do outro lado. Os extremos de f sobre a circunferência ocorrem exatamente nos valores de k para os quais a reta a x + b y = k é a mais alta (ou a mais baixa) possível que ainda intersecta a circunferência — isto é, quando a reta fica tangente à circunferência. Geometricamente, portanto, os máximos e mínimos são pontos de tangência entre uma reta nível e a circunferência.

Passo 4

Ligando com o conceito de gradiente (explicação didática).
  • O gradiente \nabla f(x,y) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de f e é perpendicular às curvas de nível de f. Aqui, as curvas de nível são retas com direção fixa, então \nabla f tem direção fixa (paralela a (a,b)).
  • A restrição g(x,y)=x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 tem gradiente \nabla g(x,y)=2(x,y), que aponta radialmente para fora da circunferência.
    No ponto de tangência entre uma reta nível e a circunferência, a reta nível é tangente à circunferência, logo suas normais coincidem: isto implica que \nabla f é paralelo a \nabla g naquele ponto. Essa é exatamente a condição clássica de multiplicador de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g. Portanto os pontos de tangência são candidatos a extremos restritos.

Passo 5

Demonstração algébrica simples e completa (Cauchy–Schwarz) que garante existência e unicidade de um máximo e de um mínimo.
Suponha que as curvas de nível sejam dadas por a x + b y = k com (a,b)\neq(0,0). Sobre a circunferência \;x^{2}+y^{2}=R^{2}\; temos, por desigualdade de Cauchy–Schwarz,
a x + b y \le \sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\,R.
Logo o maior valor possível de k sobre a circunferência é
k_{\max}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,R.
De modo análogo,
a x + b y \ge -\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,R,
e o menor valor possível é
k_{\min}=-\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,R.
A condição de igualdade na Cauchy–Schwarz ocorre quando o vetor (x,y) é proporcional a (a,b), ou seja, quando
(x,y)=\pm \frac{R}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(a,b).
Isso produz exatamente dois pontos na circunferência: um que dá k_{\max} e o oposto que dá k_{\min}. Portanto existe um único ponto que atinge o máximo e um único ponto que atinge o mínimo.

Passo 6

Interpretação geométrica resumida e por que não há outros extremos.
  • Geometricamente, entre todas as retas paralelas a x + b y = k a que atinge mais “pra cima” a circunferência toca-a apenas num ponto (tangência) — esse é o máximo. A que atinge mais “pra baixo” toca-a apenas num ponto diametralmente oposto — esse é o mínimo.
  • Não existem outros extremos porque, fora desses pontos de tangência, as retas níveis que intersectam a circunferência o fazem em dois pontos com o mesmo valor de f (não são extremos), e a igualdade de Cauchy mostra que só nesses dois pontos (próximo/oposto) a soma a x + b y chega aos extremos permitido pela circunferência.

Passo 7

Pequeno resumo motivador para a prova (dica prática).
Quando vir “curvas de nível retas paralelas + circunferência”, pense instantaneamente: deslizar a reta até tangenciar a circunferência; os pontos de tangência (um de cada lado) são o máximo e o mínimo. Se precisar de cálculo, escreva a x + b y e use Cauchy–Schwarz ou os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos explicitamente. Você já ganhou a intuição e tem um método rápido para a prova — respira, dá pra fazer.

Resposta

Porque ao deslizar as retas paralelas (as curvas de nível a x+b y=k) sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=R^{2} os valores extremos ocorrem quando a reta fica tangente à circunferência; a desigualdade de Cauchy–Schwarz dá a x+b y\le\sqrt{a^{2}+b^{2}}\,R com igualdade só em (x,y)=\frac{R}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(a,b) e no ponto oposto, garantindo exatamente um máximo e exatamente um mínimo.

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