- Reflexão: Como a geometria das curvas de nível de
(retas paralelas) e da restrição (circunferência) ajuda a visualizar que existem exatamente um máximo e um mínimo?.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique, usando a geometria das curvas de nível e da restrição, por que existe exatamente um máximo e um mínimo. As informações dadas são:
- As curvas de nível de
são retas paralelas (ou seja, a família de conjuntos são retas de mesma direção). - A restrição é uma circunferência (um conjunto
para algum ).
O objetivo é visualizar e justificar por que, sobre essa circunferência, a funçãotem exatamente um ponto onde atinge o valor máximo e exatamente um ponto onde atinge o valor mínimo.
Passo 2
O que são curvas de nível e o que significa que elas sejam retas paralelas.
- Curva de nível: para qualquer número
, a curva de nível é o conjunto . Essas curvas mostram onde tem o mesmo valor. - Se todas as curvas de nível são retas paralelas, então existe um vetor fixo
tal que cada curva de nível pode ser escrita (até tradução) como
com
variando. Em palavras: os níveis de
são obtidos deslizando uma mesma reta (de direção perpendicular a
) no plano.
Passo 3
Intuição geométrica básica: deslizar retas paralelas sobre a circunferência.
Imagine as retas variando
. Para
muito pequeno a reta fica bem longe de um lado da circunferência; aumentando
a reta desliza na direção normal a ela e começa a cortar a circunferência, depois toca-a (caso limite), depois corta em dois pontos, até finalmente para um
suficientemente grande ela deixa de cortar do outro lado. Os extremos de
sobre a circunferência ocorrem exatamente nos valores de
para os quais a reta
é a mais alta (ou a mais baixa) possível que ainda intersecta a circunferência — isto é, quando a reta fica tangente à circunferência. Geometricamente, portanto, os máximos e mínimos são pontos de tangência entre uma reta nível e a circunferência.
Imagine as retas
Passo 4
Ligando com o conceito de gradiente (explicação didática).
- O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é perpendicular às curvas de nível de . Aqui, as curvas de nível são retas com direção fixa, então tem direção fixa (paralela a ). - A restrição
tem gradiente , que aponta radialmente para fora da circunferência.
No ponto de tangência entre uma reta nível e a circunferência, a reta nível é tangente à circunferência, logo suas normais coincidem: isto implica queé paralelo a naquele ponto. Essa é exatamente a condição clássica de multiplicador de Lagrange . Portanto os pontos de tangência são candidatos a extremos restritos.
Passo 5
Demonstração algébrica simples e completa (Cauchy–Schwarz) que garante existência e unicidade de um máximo e de um mínimo.
Suponha que as curvas de nível sejam dadas por com
. Sobre a circunferência
temos, por desigualdade de Cauchy–Schwarz,
Suponha que as curvas de nível sejam dadas por
Logo o maior valor possível de
sobre a circunferência é
De modo análogo,
e o menor valor possível é
A condição de igualdade na Cauchy–Schwarz ocorre quando o vetor
é proporcional a
, ou seja, quando
Isso produz exatamente dois pontos na circunferência: um que dá
e o oposto que dá
. Portanto existe um único ponto que atinge o máximo e um único ponto que atinge o mínimo.
Passo 6
Interpretação geométrica resumida e por que não há outros extremos.
- Geometricamente, entre todas as retas paralelas
a que atinge mais “pra cima” a circunferência toca-a apenas num ponto (tangência) — esse é o máximo. A que atinge mais “pra baixo” toca-a apenas num ponto diametralmente oposto — esse é o mínimo. - Não existem outros extremos porque, fora desses pontos de tangência, as retas níveis que intersectam a circunferência o fazem em dois pontos com o mesmo valor de
(não são extremos), e a igualdade de Cauchy mostra que só nesses dois pontos (próximo/oposto) a soma chega aos extremos permitido pela circunferência.
Passo 7
Pequeno resumo motivador para a prova (dica prática).
Quando vir “curvas de nível retas paralelas + circunferência”, pense instantaneamente: deslizar a reta até tangenciar a circunferência; os pontos de tangência (um de cada lado) são o máximo e o mínimo. Se precisar de cálculo, escreva e use Cauchy–Schwarz ou os multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos explicitamente. Você já ganhou a intuição e tem um método rápido para a prova — respira, dá pra fazer.
Quando vir “curvas de nível retas paralelas + circunferência”, pense instantaneamente: deslizar a reta até tangenciar a circunferência; os pontos de tangência (um de cada lado) são o máximo e o mínimo. Se precisar de cálculo, escreva
Resposta
Porque ao deslizar as retas paralelas (as curvas de nível
) sobre a circunferência
os valores extremos ocorrem quando a reta fica tangente à circunferência; a desigualdade de Cauchy–Schwarz dá
com igualdade só em
e no ponto oposto, garantindo exatamente um máximo e exatamente um mínimo.