Encontre o valor máximo da derivada direcional, um vetor unitário vec{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
g(x, y, z)=e^{x} \cos y z em (1,0, \pi)

Passo 1

O enunciado dá a função g(x,y,z)=e^{x}\cos y\, z e o ponto (1,0,\pi). O que se pede:
  • Encontrar o valor máximo da derivada direcional de g no ponto (1,0,\pi).
  • Determinar um vetor unitário \vec{u} (a direção) em que essa derivada direcional máxima é obtida.
    Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita é g(x,y,z)=e^{x}\cos y\, z.
  • O ponto onde se avalia é (1,0,\pi).
  • A derivada direcional em direção unitária \vec{u} é dada por produto escalar entre o gradiente e \vec{u} (isto será usado).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Gradiente: o gradiente de g é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla g(x,y,z)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\;\frac{\partial g}{\partial y},\;\frac{\partial g}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial g}{\partial x} é a taxa de variação de g em relação a x mantendo y,z fixos, e análogas interpretações para as outras parciais.
  • Derivada direcional: a derivada direcional de g no ponto (x,y,z) na direção de um vetor unitário \vec{u} é
D_{\vec{u}}g(x,y,z)=\nabla g(x,y,z)\cdot\vec{u},
onde `` \cdot’’ é o produto escalar.
  • Máximo da derivada direcional: para \vec{u} unitário, o produto escalar é limitado pela desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\nabla g\cdot\vec{u}\le \|\nabla g\|\,\|\vec{u}\|=\|\nabla g\|,
pois \|\vec{u}\|=1. A igualdade ocorre quando \vec{u} tem a mesma direção do gradiente. Portanto:
  • O valor máximo de D_{\vec{u}}g é \|\nabla g\| (a norma do gradiente).
  • Uma direção que atinge esse máximo é \vec{u}=\dfrac{\nabla g}{\|\nabla g\|}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de g(x,y,z)=e^{x}\cos y\, z passo a passo.
  • Para \dfrac{\partial g}{\partial x}: trate z\cos y como constante multiplicativa e derive e^{x}:
\frac{\partial g}{\partial x}=e^{x}\cos y\, z.
  • Para \dfrac{\partial g}{\partial y}: derivando \cos y obtemos -\sin y, então
\frac{\partial g}{\partial y}=e^{x}(-\sin y)\, z = -e^{x} z\sin y.
  • Para \dfrac{\partial g}{\partial z}: trate e^{x}\cos y como constante multiplicativa e derive em relação a z:
\frac{\partial g}{\partial z}=e^{x}\cos y.
Assim o gradiente é
\nabla g(x,y,z)=\bigl(e^{x}\cos y\, z,\; -e^{x} z\sin y,\; e^{x}\cos y\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,0,\pi). Primeiro calcule as funções trigonométricas em y=0:
\cos 0 = 1,\qquad \sin 0 = 0.
Substituindo x=1, y=0, z=\pi em \nabla g:
\nabla g(1,0,\pi)=\bigl(e^{1}\cdot 1\cdot \pi,\; -e^{1}\cdot \pi\cdot 0,\; e^{1}\cdot 1\bigr) = \bigl(\pi e,\; 0,\; e\bigr).

Passo 5

Determinar o valor máximo da derivada direcional e o vetor unitário que o alcança.
  • Norma do gradiente: calcule \|\nabla g(1,0,\pi)\|:
\|\nabla g(1,0,\pi)\|=\sqrt{(\pi e)^{2}+0^{2}+e^{2}}=e\sqrt{\pi^{2}+1}.
Pela explicação do Passo 2, este é o valor máximo da derivada direcional no ponto dado.
  • Vetor unitário na direção do gradiente: divida o gradiente pela sua norma:
\vec{u}=\frac{\nabla g(1,0,\pi)}{\|\nabla g(1,0,\pi)\|} = \left(\frac{\pi e}{e\sqrt{\pi^{2}+1}},\;0,\;\frac{e}{e\sqrt{\pi^{2}+1}}\right) = \left(\frac{\pi}{\sqrt{\pi^{2}+1}},\;0,\;\frac{1}{\sqrt{\pi^{2}+1}}\right).
Verificação rápida (opcional): a norma deste \vec{u} é
\sqrt{\left(\frac{\pi}{\sqrt{\pi^{2}+1}}\right)^{2}+0^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{\pi^{2}+1}}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{\pi^{2}+1}{\pi^{2}+1}}=1,
ou seja, é unidade, como deve ser.

Resposta

\displaystyle \text{Valor máximo: } e\sqrt{\pi^{2}+1}á
\displaystyle \text{Vetor unitário: } \vec{u}=\left(\frac{\pi}{\sqrt{\pi^{2}+1}},\;0,\;\frac{1}{\sqrt{\pi^{2}+1}}\right)á

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