Encontre o valor máximo da derivada direcional, um vetor unitário
na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
em
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. O que se pede:
- Encontrar o valor máximo da derivada direcional de
no ponto . - Determinar um vetor unitário
(a direção) em que essa derivada direcional máxima é obtida.
Informações relevantes fornecidas: - A função explícita é
. - O ponto onde se avalia é
. - A derivada direcional em direção unitária
é dada por produto escalar entre o gradiente e (isto será usado).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- Gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Aqui
é a taxa de variação de
em relação a
mantendo
fixos, e análogas interpretações para as outras parciais.
- Derivada direcional: a derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é
onde ``
’’ é o produto escalar.
- Máximo da derivada direcional: para
unitário, o produto escalar é limitado pela desigualdade de Cauchy–Schwarz:
pois
. A igualdade ocorre quando
tem a mesma direção do gradiente. Portanto:
- O valor máximo de
é (a norma do gradiente). - Uma direção que atinge esse máximo é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
- Para
: trate como constante multiplicativa e derive :
- Para
: derivando obtemos , então
- Para
: trate como constante multiplicativa e derive em relação a :
Assim o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
. Primeiro calcule as funções trigonométricas em
:
Substituindo
,
,
em
:
Passo 5
Determinar o valor máximo da derivada direcional e o vetor unitário que o alcança.
- Norma do gradiente: calcule
:
Pela explicação do Passo 2, este é o valor máximo da derivada direcional no ponto dado.
- Vetor unitário na direção do gradiente: divida o gradiente pela sua norma:
Verificação rápida (opcional): a norma deste
é
ou seja, é unidade, como deve ser.