Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6 em (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a superfície dada no ponto indicado:
  • (a) a equação do plano tangente à superfície em (1,1,1);
  • (b) a equação da reta normal à superfície em (1,1,1).
Informações fornecidas:
  • A superfície é dada implicitamente por x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=6.
  • O ponto onde queremos as equações é (1,1,1).

Passo 2

Estratégia e ideia principal (sem jargões complicados): para superfícies dadas por uma equação do tipo F(x,y,z)=0 (aqui F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6), o vetor gradiente \nabla F no ponto é um vetor normal ao plano tangente. Isso é muito útil porque:
  • O plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) pode ser escrito como o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0.
  • A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção dada por esse vetor gradiente.
Antes de aplicar, vamos construir F explicitamente e explicar o que é cada coisa:
  • Definir F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6.
  • O gradiente \nabla F é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla F=(F_x,F_y,F_z). Aqui F_x significa \dfrac{\partial F}{\partial x}, etc. Essas derivadas medem como F varia quando mudamos só uma das coordenadas.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (uma por vez, devagarinho):
  • Para F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6, a derivada parcial em relação a x é
F_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6\bigr)=2x.
Explicação: ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes; \frac{d}{dx}x^{2}=2x e os termos sem x viram zero.
  • A derivada parcial em relação a y é
F_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6\bigr)=4y.
Explicação: \frac{d}{dy}2y^{2}=4y; os outros termos não dependem de y.
  • A derivada parcial em relação a z é
F_z=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6\bigr)=6z.
Explicação: \frac{d}{dz}3z^{2}=6z.
Portanto o gradiente é
\nabla F(x,y,z)=(2x,\,4y,\,6z).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto dado (1,1,1):
\nabla F(1,1,1)=(2\cdot1,\,4\cdot1,\,6\cdot1)=(2,4,6).
Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor (por exemplo (1,2,3)) também é um vetor normal com a mesma direção; às vezes usamos o vetor mais simples (1,2,3) dividindo por 2.

Passo 5

Agora usamos o fato: se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é um vetor normal em (x_{0},y_{0},z_{0}), a equação do plano tangente é
n_1(x-x_{0})+n_2(y-y_{0})+n_3(z-z_{0})=0.
Aqui podemos escolher \mathbf{n}=\nabla F(1,1,1)=(2,4,6) e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,1). Substituindo:
2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0.

Passo 6

Simplificar a equação do plano tangente (passo a passo, sem pular):
Começando por expandir:
2x-2+4y-4+6z-6=0.
Somando os termos constantes -2-4-6=-12:
2x+4y+6z-12=0.
Dividindo toda a equação por 2 (operação permitida pois 2\neq0), obtemos a forma mais simples:
x+2y+3z-6=0.
Ou de forma mais direta:
x+2y+3z=6.

Passo 7

Agora a reta normal. A reta normal passa pelo ponto [(1,1,1)) e tem direção dada por \nabla F(1,1,1)=(2,4,6) (ou pelo vetor simplificado (1,2,3)). Para escrever a reta em forma paramétrica, usamos um parâmetro t. Com a direção (1,2,3) fica mais limpo:
Equações paramétricas:
\begin{cases} x=1+t,\\[4pt] y=1+2t,\\[4pt] z=1+3t, \end{cases}
onde t\in\mathbb{R}\] e \(t=0 corresponde ao ponto (1,1,1).]

Passo 8

Também podemos dar a forma simétrica da reta (quando as componentes da direção são todas não nulas): usando a direção (1,2,3),
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}.
Essa é só outra maneira de escrever a mesma reta normal.

Passo 9

Cheque rápido (confirmação): a reta realmente é ortogonal ao plano porque o vetor direção (1,2,3) tem produto escalar zero com qualquer vetor do plano tangente. Por exemplo, o vetor normal do plano é (1,2,3) (mesma direção), então tudo bate certo. Além disso, o ponto (1,1,1) satisfaz a equação do plano 1+2\cdot1+3\cdot1=6, ou seja 6=6, confirmação que o plano passa pelo ponto pedido.

Resposta

(a) x+2y+3z=6
(b) \displaystyle x=1+t,\quad y=1+2t,\quad z=1+3t,\\ t\in\mathbb{R}

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