Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6 em (1,1,1)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a superfície dada no ponto indicado:
(a) a equação do plano tangente à superfície em (1,1,1);
(b) a equação da reta normal à superfície em (1,1,1).
Informações fornecidas:
A superfície é dada implicitamente por x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=6.
O ponto onde queremos as equações é (1,1,1).
Passo 2
Estratégia e ideia principal (sem jargões complicados): para superfícies dadas por uma equação do tipo F(x,y,z)=0 (aqui F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6), o vetor gradiente \nabla F no ponto é um vetor normal ao plano tangente. Isso é muito útil porque:
O plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) pode ser escrito como o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})=0.
A reta normal passa pelo ponto dado e tem direção dada por esse vetor gradiente.
Antes de aplicar, vamos construir F explicitamente e explicar o que é cada coisa:
Definir F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6.
O gradiente \nabla F é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais: \nabla F=(F_x,F_y,F_z). Aqui F_x significa \dfrac{\partial F}{\partial x}, etc. Essas derivadas medem como F varia quando mudamos só uma das coordenadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (uma por vez, devagarinho):
Para F(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}-6, a derivada parcial em relação a x é
Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo desse vetor (por exemplo (1,2,3)) também é um vetor normal com a mesma direção; às vezes usamos o vetor mais simples (1,2,3) dividindo por 2.
Passo 5
Agora usamos o fato: se \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) é um vetor normal em (x_{0},y_{0},z_{0}), a equação do plano tangente é
n_1(x-x_{0})+n_2(y-y_{0})+n_3(z-z_{0})=0.
Aqui podemos escolher \mathbf{n}=\nabla F(1,1,1)=(2,4,6) e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,1). Substituindo:
2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0.
Passo 6
Simplificar a equação do plano tangente (passo a passo, sem pular):
Começando por expandir:
2x-2+4y-4+6z-6=0.
Somando os termos constantes -2-4-6=-12:
2x+4y+6z-12=0.
Dividindo toda a equação por 2 (operação permitida pois 2\neq0), obtemos a forma mais simples:
x+2y+3z-6=0.
Ou de forma mais direta:
x+2y+3z=6.
Passo 7
Agora a reta normal. A reta normal passa pelo ponto [(1,1,1)) e tem direção dada por \nabla F(1,1,1)=(2,4,6) (ou pelo vetor simplificado (1,2,3)). Para escrever a reta em forma paramétrica, usamos um parâmetro t. Com a direção (1,2,3) fica mais limpo:
onde t\in\mathbb{R}\] e \(t=0 corresponde ao ponto (1,1,1).]
Passo 8
Também podemos dar a forma simétrica da reta (quando as componentes da direção são todas não nulas): usando a direção (1,2,3),
\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}.
Essa é só outra maneira de escrever a mesma reta normal.
Passo 9
Cheque rápido (confirmação): a reta realmente é ortogonal ao plano porque o vetor direção (1,2,3) tem produto escalar zero com qualquer vetor do plano tangente. Por exemplo, o vetor normal do plano é (1,2,3) (mesma direção), então tudo bate certo. Além disso, o ponto (1,1,1) satisfaz a equação do plano 1+2\cdot1+3\cdot1=6, ou seja 6=6, confirmação que o plano passa pelo ponto pedido.