Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado
em
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida implicitamente por
e pede duas coisas no ponto
:
- (a) a equação do plano tangente à superfície em
; - (b) a equação da reta normal à superfície que passa por
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação implícita da superfície é
- O ponto onde se quer o plano e a reta é
.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma superfície dada por
o vetor gradiente de em um ponto é
Aqui cada parcial
é a derivada de
em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
- Propriedade importante:
é um vetor normal (perpendicular) ao plano tangente da superfície em . Intuição: a derivada direcional de ao longo de qualquer vetor tangente é zero, então o gradiente (que dá a direção de máxima variação) é perpendicular aos vetores tangentes. - Fórmula do plano tangente em
:
Nessa fórmula,
são as coordenadas de um ponto arbitrário no plano;
é o ponto dado; e as parciais são números avaliados no ponto.
- Para a reta normal: ela passa por
e tem direção dada por . A forma paramétrica é
onde
é o parâmetro.
Passo 3
Aplicando ao problema: primeiro definimos
explicitamente e calculamos as derivadas parciais.
Calculamos cada parcial (explicando cada termo):
- A derivada de
em relação a é . Os termos que não dependem de (como e ) têm derivada zero; o termo em relação a dá . Logo
- De modo análogo para
: a derivada de em relação a é ; o termo dá ; os outros termos não contribuem. Assim
- Finalmente,
é a derivada de em relação a , que é , pois os outros termos não dependem de . Então
Passo 4
Agora avaliamos as parciais no ponto dado
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto o gradiente no ponto é
Observação útil: como
, a superfície é diferenciável ali e o plano tangente está bem definido. Aqui o gradiente aponta totalmente na direção do eixo
.
Passo 5
Escrever a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
Substituindo os valores encontrados:
Isso simplifica para
isto é,
Interpretação rápida: o plano tangente é o plano horizontal de altura
.
Passo 6
Construir a reta normal: ela passa por
e tem direção
. A forma vetorial paramétrica é
Escrevendo coordenada a coordenada (forma paramétrica):
Observação: não é possível escrever uma forma simétrica com todas as componentes divididas (ex.:
) porque as componentes
e
da direção são zero; a forma paramétrica acima é a maneira correta e simples.
Resposta
(a)
(b)
(isto é,
).