Nos problemas a seguir encontre as equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal para cada superfície no ponto dado
x^{3}+y^{3}-6 x y+z=0 em (2,2,8)

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida implicitamente por x^{3}+y^{3}-6xy+z=0 e pede duas coisas no ponto (2,2,8):
  • (a) a equação do plano tangente à superfície em (2,2,8);
  • (b) a equação da reta normal à superfície que passa por (2,2,8).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação implícita da superfície é F(x,y,z)=x^{3}+y^{3}-6xy+z=0.
  • O ponto onde se quer o plano e a reta é (2,2,8).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma superfície dada por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente de \,F em um ponto (x_0,y_0,z_0) é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\Big(\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0),\;\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0),\;\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\Big).
Aqui cada parcial \frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z} é a derivada de F em relação àquela variável, mantendo as outras fixas.
  • Propriedade importante: \nabla F(x_0,y_0,z_0) é um vetor normal (perpendicular) ao plano tangente da superfície em (x_0,y_0,z_0). Intuição: a derivada direcional de F ao longo de qualquer vetor tangente é zero, então o gradiente (que dá a direção de máxima variação) é perpendicular aos vetores tangentes.
  • Fórmula do plano tangente em (x_0,y_0,z_0):
\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\,(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)\,(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)\,(z-z_0)=0.
Nessa fórmula, (x,y,z) são as coordenadas de um ponto arbitrário no plano; (x_0,y_0,z_0) é o ponto dado; e as parciais são números avaliados no ponto.
  • Para a reta normal: ela passa por (x_0,y_0,z_0) e tem direção dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0). A forma paramétrica é
\mathbf{r}(t)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro.

Passo 3

Aplicando ao problema: primeiro definimos F explicitamente e calculamos as derivadas parciais.
F(x,y,z)=x^{3}+y^{3}-6xy+z.
Calculamos cada parcial (explicando cada termo):
  • A derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}. Os termos que não dependem de x (como y^{3} e z) têm derivada zero; o termo -6xy em relação a x -6y. Logo
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z)=3x^{2}-6y.
  • De modo análogo para \frac{\partial F}{\partial y}: a derivada de y^{3} em relação a y é 3y^{2}; o termo -6xy -6x; os outros termos não contribuem. Assim
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y,z)=3y^{2}-6x.
  • Finalmente, \frac{\partial F}{\partial z} é a derivada de z em relação a z, que é 1, pois os outros termos não dependem de z. Então
\frac{\partial F}{\partial z}(x,y,z)=1.

Passo 4

Agora avaliamos as parciais no ponto dado (2,2,8).
  • Para \frac{\partial F}{\partial x}:
\frac{\partial F}{\partial x}(2,2,8)=3\cdot(2)^{2}-6\cdot 2=3\cdot4-12=12-12=0.
  • Para \frac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}(2,2,8)=3\cdot(2)^{2}-6\cdot 2=12-12=0.
  • Para \frac{\partial F}{\partial z}:
\frac{\partial F}{\partial z}(2,2,8)=1.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla F(2,2,8)=(0,0,1).
Observação útil: como \nabla F(2,2,8)\neq(0,0,0), a superfície é diferenciável ali e o plano tangente está bem definido. Aqui o gradiente aponta totalmente na direção do eixo z.

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2:
\frac{\partial F}{\partial x}(2,2,8)\,(x-2)+\frac{\partial F}{\partial y}(2,2,8)\,(y-2)+\frac{\partial F}{\partial z}(2,2,8)\,(z-8)=0.
Substituindo os valores encontrados:
0\cdot(x-2)+0\cdot(y-2)+1\cdot(z-8)=0.
Isso simplifica para
z-8=0,
isto é,
z=8.
Interpretação rápida: o plano tangente é o plano horizontal de altura z=8.

Passo 6

Construir a reta normal: ela passa por (2,2,8) e tem direção \nabla F(2,2,8)=(0,0,1). A forma vetorial paramétrica é
\mathbf{r}(t)=(2,2,8)+t\,(0,0,1).
Escrevendo coordenada a coordenada (forma paramétrica):
x(t)=2,\qquad y(t)=2,\qquad z(t)=8+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Observação: não é possível escrever uma forma simétrica com todas as componentes divididas (ex.: \frac{x-2}{0}) porque as componentes x e y da direção são zero; a forma paramétrica acima é a maneira correta e simples.

Resposta

(a) z=8
(b) \displaystyle (x,y,z)=(2,2,8)+t\,(0,0,1),\quad t\in\mathbb{R} (isto é, x=2,\\ y=2,\\ z=8+t).

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