Encontre o valor máximo da derivada direcional, um vetor unitário vec{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado.
f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1} em ( 1,2,-3 )

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}.
  • O ponto em que se deve trabalhar é (1,2,-3).
O que pede:
  • Encontrar o valor máximo da derivada direcional de f nesse ponto.
  • Encontrar um vetor unitário \vec{u} que indique a direção em que essa derivada direcional máxima é obtida.

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados passo a passo e sem pular etapas):
  1. Definição prática da derivada direcional: para uma função de várias variáveis, a derivada direcional de f no ponto \mathbf{a} na direção de um vetor unitário \vec{u} é
D_{\vec{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot\vec{u},
onde \nabla f(\mathbf{a}) é o vetor gradiente de f em \mathbf{a} e `` \cdot’’ é o produto escalar.
  1. O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z).
Cada componente \partial f/\partial x significa “derivar f em relação a x, tratando y,z como constantes”.
  1. Máximo da derivada direcional: pelo teorema do produto escalar (ou desigualdade de Cauchy–Schwarz),
\left|\nabla f(\mathbf{a})\cdot\vec{u}\right|\le \|\nabla f(\mathbf{a})\|\;\|\vec{u}\|.
Se \|\vec{u}\|=1, então
\left|\nabla f(\mathbf{a})\cdot\vec{u}\right|\le \|\nabla f(\mathbf{a})\|.
A igualdade ocorre quando \vec{u} é paralelo a \nabla f(\mathbf{a}) (mesma direção). Portanto:
  • A maior derivada direcional (o valor máximo) é \|\nabla f(\mathbf{a})\|.
  • Um vetor unitário que atinge esse máximo é \vec{u}=\dfrac{\nabla f(\mathbf{a})}{\|\nabla f(\mathbf{a})\|} (ou seu oposto, dependendo do sinal; aqui o máximo é positivo e corresponde à direção do próprio gradiente).
Resumo prático: calcular \nabla f no ponto, calcular sua norma; a norma é o valor máximo, e a direção é \nabla f normalizado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}.
Usa-se a regra da cadeia: se f=(g)^{-1} com g=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{\partial f}{\partial x} = -1\cdot g^{-2}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}.
De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y} = -2y\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = -2z\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}.
Portanto o gradiente é
\displaystyle \nabla f(x,y,z) = -2\,(x,y,z)\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2,-3).
Primeiro calcule (x^{2}+y^{2}+z^{2}) no ponto:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}=1+4+9=14.
Então (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=14^{2}=196.
Substituindo em \nabla f:
\nabla f(1,2,-3) = -2\,(1,2,-3)\cdot 196^{-1} = -\frac{2}{196}(1,2,-3).
Simplificando \dfrac{2}{196}=\dfrac{1}{98}, obtemos
\nabla f(1,2,-3) = -\frac{1}{98}(1,2,-3).
Para ficar explícito, as componentes são
\nabla f(1,2,-3)=\left(-\frac{1}{98},\;-\frac{2}{98},\;\frac{3}{98}\right).

Passo 5

Calcular a norma do gradiente (que é o valor máximo da derivada direcional).
A norma é
\|\nabla f(1,2,-3)\| = \left\| -\frac{1}{98}(1,2,-3)\right\| = \frac{1}{98}\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}.
Já vimos que 1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}=14, então
\|\nabla f(1,2,-3)\| = \frac{\sqrt{14}}{98}.
Esse é o valor máximo da derivada direcional em (1,2,-3).

Passo 6

Encontrar um vetor unitário \vec{u} na direção em que a derivada direcional máxima é obtida.
Pegamos \nabla f(1,2,-3) e normalizamos:
\vec{u}=\frac{\nabla f(1,2,-3)}{\|\nabla f(1,2,-3)\|} = \frac{-\dfrac{1}{98}(1,2,-3)}{\dfrac{\sqrt{14}}{98}} = -\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,-3).
Observação interpretativa rápida: o sinal negativo mostra que a direção de aumento máximo de f em (1,2,-3) é no sentido oposto ao vetor (1,2,-3). Isso faz sentido porque f decresce quando o raio ao quadrado x^{2}+y^{2}+z^{2} aumenta; portanto o gradiente aponta para diminuir o raio (direção de aumento de f).

Resposta

\dfrac{\sqrt{14}}{98}
\vec{u}=-\dfrac{1}{\sqrt{14}}(1,2,-3)

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