Encontre o valor máximo da derivada direcional, um vetor unitário vec{u} na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado. f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1} em ( 1,2,-3 )
Passo 1
O enunciado dá:
A função f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}.
O ponto em que se deve trabalhar é (1,2,-3).
O que pede:
Encontrar o valor máximo da derivada direcional de f nesse ponto.
Encontrar um vetor unitário \vec{u} que indique a direção em que essa derivada direcional máxima é obtida.
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados passo a passo e sem pular etapas):
Definição prática da derivada direcional: para uma função de várias variáveis, a derivada direcional de f no ponto \mathbf{a} na direção de um vetor unitário \vec{u} é
A igualdade ocorre quando \vec{u} é paralelo a \nabla f(\mathbf{a}) (mesma direção). Portanto:
A maior derivada direcional (o valor máximo) é \|\nabla f(\mathbf{a})\|.
Um vetor unitário que atinge esse máximo é \vec{u}=\dfrac{\nabla f(\mathbf{a})}{\|\nabla f(\mathbf{a})\|} (ou seu oposto, dependendo do sinal; aqui o máximo é positivo e corresponde à direção do próprio gradiente).
Resumo prático: calcular \nabla f no ponto, calcular sua norma; a norma é o valor máximo, e a direção é \nabla f normalizado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f(x,y,z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}.
Usa-se a regra da cadeia: se f=(g)^{-1} com g=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
Observação interpretativa rápida: o sinal negativo mostra que a direção de aumento máximo de f em (1,2,-3) é no sentido oposto ao vetor (1,2,-3). Isso faz sentido porque f decresce quando o raio ao quadrado x^{2}+y^{2}+z^{2} aumenta; portanto o gradiente aponta para diminuir o raio (direção de aumento de f).