Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Potenciação e Exponenciais
Potenciação e Exponenciais
Passo 1
O enunciado pede que sejam estabelecidos os resultados (as identidades) das operações e igualdades envolvendo potências e exponenciais listadas. As expressões que precisamos completar são (peguei todas diretamente do enunciado):
Partimos daí para demonstrar e explicar cada identidade passo a passo.
Passo 2
Definindo notação e hipóteses simples que vamos usar:
-
e são números reais (quando for necessário usar divisão ou expoente zero/negativo, assumimos e ). -
e representam inteiros (para a ideia de “multiplicar repetidamente”). As propriedades abaixo valem em contextos mais gerais também, mas pensar com inteiros facilita a compreensão inicial.
Explicação do que é uma potência:significa “multiplicar por si mesmo vezes”, por exemplo . Essa ideia de “fator repetido” será a base das demonstrações.
Passo 3
Demonstrando
.
Raciocínio: escrever como
. Então
Raciocínio: escrever
Quando multiplicamos potências de mesma base, estamos juntando fatores iguais, portanto obtemos uma potência com expoente somado:
Exemplo numérico para visualizar:
.
Passo 4
Demonstrando
.
Raciocínio: significa multiplicar
por si mesmo
vezes:
Raciocínio:
Cada um desses
fatores contém
cópias de
, no total há
cópias de
. Logo
Exemplo:
e
.
Passo 5
Demonstrando
.
Raciocínio: escrever como
e usar a ideia de cancelar fatores iguais. Temos
Raciocínio: escrever
Ao dividir potências de mesma base, cancela-se a mesma quantidade de fatores no numerador e denominador, o que equivale a subtrair os expoentes:
Exemplo:
.
Passo 6
A partir da regra geral de divisão de potências podemos estender para a regra geral:
já que ao dividir cancelam-se
fatores no numerador (se
) ou resulta em fator no denominador quando
. Essa identidade é útil para o que vem a seguir.
Passo 7
Demonstrando
.
Raciocínio: tem
fatores
e
tem
fatores
. Ao multiplicá-los juntamos todos os fatores, totalizando
fatores:
Raciocínio:
Exemplo:
.
Passo 8
Demonstrando
(para
).
Raciocínio: use a identidade de divisão com :
Raciocínio: use a identidade de divisão com
Como
(qualquer número não nulo dividido por si mesmo é
), segue que
Observação: é crucial
aqui, pois
é uma expressão indeterminada em muitos contextos.
Passo 9
Demonstrando
.
Raciocínio: a definição de expoente negativo é consistente com a regra de subtração de expoentes. Considere
Raciocínio: a definição de expoente negativo é consistente com a regra de subtração de expoentes. Considere
Do passo anterior sabemos que
. Logo
Exemplo:
.
Passo 10
Demonstrando
.
Raciocínio: é o produto
repetido
vezes:
Raciocínio:
Agrupando todos os fatores
e todos os fatores
(uso aqui que a multiplicação é comutativa para números reais) obtemos
cópias de
multiplicadas entre si e
cópias de
multiplicadas entre si:
Exemplo:
e
.