Estabeleça os resultados das operações e igualdades fundamentais listadas abaixo. Estes conceitos formam a base para a simplificação de termos em séries numéricas e análise de limites.
Potenciação e Exponenciais
\begin{array}{ll} a \cdot a^{n}= & \left(a^{n}\right)^{m}= \\\ \frac{a^{n}}{a}= & a^{-n}= \\\ a^{n} \cdot a^{m}= & a^{0}=\quad(\text { considerando } a \neq 0) \\\ (a \cdot b)^{n}= & \end{array}

Passo 1

O enunciado pede que sejam estabelecidos os resultados (as identidades) das operações e igualdades envolvendo potências e exponenciais listadas. As expressões que precisamos completar são (peguei todas diretamente do enunciado):
  • \;a \cdot a^{n}= \;
  • \;\left(a^{n}\right)^{m}= \;
  • \;\dfrac{a^{n}}{a}= \;
  • \;a^{-n}= \;
  • \;a^{n} \cdot a^{m}= \;
  • \;a^{0}= \quad(\text{considerando } a \neq 0)
  • \;(a \cdot b)^{n}= \;
Partimos daí para demonstrar e explicar cada identidade passo a passo.

Passo 2

Definindo notação e hipóteses simples que vamos usar:
  • a e b são números reais (quando for necessário usar divisão ou expoente zero/negativo, assumimos a\neq0 e b\neq0).
  • n e m representam inteiros (para a ideia de “multiplicar repetidamente”). As propriedades abaixo valem em contextos mais gerais também, mas pensar com inteiros facilita a compreensão inicial.
    Explicação do que é uma potência: \;a^{n} significa “multiplicar a por si mesmo n vezes”, por exemplo \;a^{3}=a\cdot a\cdot a. Essa ideia de “fator repetido” será a base das demonstrações.

Passo 3

Demonstrando \;a \cdot a^{n}=a^{n+1}.
Raciocínio: escrever \;a como \;a^{1}. Então
a\cdot a^{n}=a^{1}\cdot a^{n}.
Quando multiplicamos potências de mesma base, estamos juntando fatores iguais, portanto obtemos uma potência com expoente somado:
a^{1}\cdot a^{n}=a^{1+n}=a^{n+1}.
Exemplo numérico para visualizar: 2\cdot 2^{3}=2\cdot 8=16=2^{4}.

Passo 4

Demonstrando \;\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}.
Raciocínio: \left(a^{n}\right)^{m} significa multiplicar a^{n} por si mesmo m vezes:
\left(a^{n}\right)^{m}=a^{n}\cdot a^{n}\cdot\ldots\cdot a^{n}\quad(m\\ \text{fatores}).
Cada um desses m fatores contém n cópias de a, no total há n\cdot m cópias de a. Logo
\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}.
Exemplo: \left(2^{3}\right)^{2}=8^{2}=64 e \;2^{3\cdot 2}=2^{6}=64.

Passo 5

Demonstrando \;\dfrac{a^{n}}{a}=a^{n-1}.
Raciocínio: escrever \;a como \;a^{1} e usar a ideia de cancelar fatores iguais. Temos
\frac{a^{n}}{a}=\frac{a^{n}}{a^{1}}.
Ao dividir potências de mesma base, cancela-se a mesma quantidade de fatores no numerador e denominador, o que equivale a subtrair os expoentes:
\frac{a^{n}}{a^{1}}=a^{\,n-1}.
Exemplo: \dfrac{2^{4}}{2}= \dfrac{16}{2}=8=2^{3}.

Passo 6

A partir da regra geral de divisão de potências podemos estender para a regra geral:
\frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{\,n-m},
já que ao dividir cancelam-se m fatores no numerador (se n\ge m) ou resulta em fator no denominador quando m>n. Essa identidade é útil para o que vem a seguir.

Passo 7

Demonstrando \;a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}.
Raciocínio: a^{n} tem n fatores a e a^{m} tem m fatores a. Ao multiplicá-los juntamos todos os fatores, totalizando n+m fatores:
a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}.
Exemplo: 2^{3}\cdot 2^{2}=8\cdot4=32=2^{5}.

Passo 8

Demonstrando \;a^{0}=1 (para a\neq0).
Raciocínio: use a identidade de divisão com n=m:
\frac{a^{n}}{a^{n}}=a^{\,n-n}=a^{0}.
Como \dfrac{a^{n}}{a^{n}}=1 (qualquer número não nulo dividido por si mesmo é 1), segue que
a^{0}=1.
Observação: é crucial a\neq0 aqui, pois 0^{0} é uma expressão indeterminada em muitos contextos.

Passo 9

Demonstrando \;a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
Raciocínio: a definição de expoente negativo é consistente com a regra de subtração de expoentes. Considere
a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^{0}.
Do passo anterior sabemos que a^{0}=1. Logo
a^{n}\cdot a^{-n}=1\quad\Rightarrow\quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Exemplo: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.

Passo 10

Demonstrando \;(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.
Raciocínio: (a\cdot b)^{n} é o produto (a\cdot b) repetido n vezes:
(a\cdot b)^{n}=(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot\ldots\cdot (a\cdot b).
Agrupando todos os fatores a e todos os fatores b (uso aqui que a multiplicação é comutativa para números reais) obtemos n cópias de a multiplicadas entre si e n cópias de b multiplicadas entre si:
(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}.
Exemplo: (2\cdot3)^{2}=6^{2}=36 e 2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36.

Resposta

\;a \cdot a^{n}=a^{n+1}
\;\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}
\;\dfrac{a^{n}}{a}=a^{n-1}
\;a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}
\;a^{n} \cdot a^{m}=a^{n+m}
\;a^{0}=1 (para a\neq0)
\;(a \cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}

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