Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente \nabla z de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto \nabla z\left(x_{0}, y_{0}\right) (c) e a Derivada direcional D_{u} z em ( x_{0}, y_{0} ) na direção do vetor unitário \vec{u}
z=2 x^{2}+3 y^{2}-1\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) o ângulo do vetor u com o eixo x é theta=\pi / 3

Passo 1

O enunciado dá a função escalar z e pede três coisas: (a) o gradiente \nabla z em termos de x e y; (b) o valor do gradiente no ponto (x_{0},y_{0})=(0,0); (c) a derivada direcional D_{u}z em (0,0) na direção do vetor unitário \vec{u}.
As informações fornecidas são:
  • A função é z = 2x^{2} + 3y^{2} - 1.
  • O ponto onde queremos avaliar é (x_{0},y_{0}) = (0,0).
  • O vetor unitário \vec{u} tem ângulo \theta = \pi/3 com o eixo x.

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos?
O gradiente de uma função escalar z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac{\partial z}{\partial y}\right).
Aqui \frac{\partial z}{\partial x} significa “derivar z tratando y como constante” e \frac{\partial z}{\partial y} significa “derivar z tratando x como constante”. Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de z e a sua magnitude dá a taxa máxima de variação.

Passo 3

Vamos aplicar a definição e calcular as derivadas parciais de z = 2x^{2}+3y^{2}-1 passo a passo.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^{2}+3y^{2}-1\right).
Termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}(2x^{2})=4x, \frac{\partial}{\partial x}(3y^{2})=0 (porque y é constante) e \frac{\partial}{\partial x}(-1)=0. Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=4x.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x^{2}+3y^{2}-1\right).
Termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0, \frac{\partial}{\partial y}(3y^{2})=6y e \frac{\partial}{\partial y}(-1)=0. Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=6y.
Assim o gradiente geral é
\nabla z(x,y)=\left(4x,\;6y\right).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente no ponto (x_{0},y_{0})=(0,0). Basta substituir x=0 e y=0 em \nabla z(x,y):
\nabla z(0,0)=\left(4\cdot 0,\;6\cdot 0\right)=(0,0).

Passo 5

Precisamos da derivada direcional D_{u}z(0,0). Primeiro encontramos as componentes do vetor unitário \vec{u} dado o ângulo \theta=\pi/3 com o eixo x. Para um vetor unitário com ângulo \theta,
\vec{u}=(\cos\theta,\;\sin\theta).
Substituindo \theta=\pi/3:
\vec{u}=\left(\cos\frac{\pi}{3},\;\sin\frac{\pi}{3}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 6

Fórmula da derivada direcional: a derivada direcional de z em (x_{0},y_{0}) na direção do vetor unitário \vec{u} é o produto escalar entre o gradiente no ponto e \vec{u}:
D_{u}z(x_{0},y_{0})=\nabla z(x_{0},y_{0})\cdot \vec{u}.
Usando \nabla z(0,0)=(0,0) e \vec{u}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right), temos
D_{u}z(0,0)=(0,0)\cdot\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\cdot\tfrac{1}{2}+0\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=0.
Interpretação rápida (útil na prova): como o gradiente no ponto é o vetor nulo, a taxa de variação em qualquer direção naquele ponto é zero — o ponto é um ponto crítico da função.

Resposta

(a) \nabla z(x,y)=\left(4x,\;6y\right)
(b) \nabla z(0,0)=(0,0)
(c) D_{u}z(0,0)=0

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