Nos problemas abaixo encontre (a) o gradiente
de cada campo escalar; (b) o valor do gradiente no ponto
(c) e a Derivada direcional
em (
) na direção do vetor unitário
o ângulo do vetor
com o eixo
é
Passo 1
O enunciado dá a função escalar
e pede três coisas: (a) o gradiente
em termos de
e
; (b) o valor do gradiente no ponto
; (c) a derivada direcional
em
na direção do vetor unitário
.
As informações fornecidas são:
As informações fornecidas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos avaliar é
. - O vetor unitário
tem ângulo com o eixo .
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos?
O gradiente de uma função escalar é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
O gradiente de uma função escalar
Aqui
significa “derivar
tratando
como constante” e
significa “derivar
tratando
como constante”. Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de
e a sua magnitude dá a taxa máxima de variação.
Passo 3
Vamos aplicar a definição e calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
Derivada parcial em relação a
:
Termo a termo:
,
(porque
é constante) e
. Portanto
Derivada parcial em relação a
:
Termo a termo:
,
e
. Portanto
Assim o gradiente geral é
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
em
:
Passo 5
Precisamos da derivada direcional
. Primeiro encontramos as componentes do vetor unitário
dado o ângulo
com o eixo
. Para um vetor unitário com ângulo
,
Substituindo
:
Passo 6
Fórmula da derivada direcional: a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente no ponto e
:
Usando
e
, temos
Interpretação rápida (útil na prova): como o gradiente no ponto é o vetor nulo, a taxa de variação em qualquer direção naquele ponto é zero — o ponto é um ponto crítico da função.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)