Encontre o valor médio de f(x)=(4-x^2)^3 / 2 no intervalo [0, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para a gente encontrar o valor médio da função $ f(x) = \left(4 - x{2}\right){3/2} $ no intervalo de $ x $ igual a 0 até 2.
O que precisamos saber:
  • Valor médio de uma função: É basicamente a média dos valores que a função assume em um determinado intervalo.
  • Integral definida: Vamos usar integração para calcular essa média.
  • Intervalo [0, 2]: É o intervalo onde vamos calcular o valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função $ f(x) $ no intervalo f(x) :
[a, b]é
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 2 $. Então, a fórmula fica:
Valor Médio = 1b - a integrala^b f(x) , dx é

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{2} \left(4 - x{2}\right){3/2} , dx $. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração.
Vamos definir:
integral0^2 (4 - x^2)^3/2 , dx
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = 4 - x^2
No entanto, observamos que na nossa integral original não temos um termo de $ x $, então essa substituição não simplifica diretamente a integral. Nesse caso, vamos usar outra abordagem.

Passo 4

Vamos expandir a expressão $ \left(4 - x{2}\right){3/2} $. Podemos reescrever essa expressão como:
(4 - x^2)^3/2
Reconhecemos que isso se assemelha à forma de uma função trigonométrica. Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Vamos usar:
(4 - x^2)^3/2 = (raiz4 - x^2)^3 = (2^2 - x^2)^3/2
E quando $ x = 0 $:
x = 2 sin theta Rightarrow dx = 2 cos theta , dtheta
Quando $ x = 2 $:
x = 0

Passo 5

Substituindo $ x = 2 \sin \theta $ na integral:
x = 2 sin theta
Simplificando dentro da integral:
integral0^2 (4 - x^2)^3/2 , dx = integral0^pi2 (4 - (2 sin theta)^2)^3/2 cdot 2 cos theta , dtheta
Então, temos:
4 - (2 sin theta)^2 = 4 - 4 sin^2 theta = 4 (1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Portanto, a integral se torna:
(4 cos^2 theta)^3/2 = 8 cos^3 theta

Passo 6

Agora, precisamos calcular $ \int \cos^{4} \theta , d\theta $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para reduzir a potência:
integral cos^4 theta , dtheta
Então, a integral se torna:
cos^4 theta = (cos^2 theta)^2 = (1 + cos 2theta2)^2 = 14 (1 + 2 cos 2theta + cos^2 2theta)
Ainda precisamos simplificar $ \cos^{2} 2\theta $:
integral cos^4 theta , dtheta = 14 integral (1 + 2 cos 2theta + cos^2 2theta) dtheta
Substituindo de volta:
cos^2 2theta

Passo 7

Integrando termo a termo:
14 [ 32 theta + sin 2theta + sin 4theta8 ] g|0^pi2
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
theta = pi2
Para $ \theta = 0 $:
32 cdot pi2 + sin pi + sin 2pi8 = 3pi4 + 0 + 0 = 3pi4
Então, a diferença é:
theta = 0
Multiplicando pelo 32 cdot 0 + sin 0 + sin 08 = 0 + 0 + 0 = 0 :
3pi4 - 0 = 3pi4

Passo 8

Voltando para a nossa integral original:
16 integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta = 16 cdot 3pi16 = 3pi
Então, o valor da integral $ \int_{0}^{2} \left(4 - x{2}\right){3/2} , dx $ é $ 3\pi $.

Passo 9

Agora, vamos calcular o valor médio usando a fórmula que vimos no Passo 2:
Valor Médio = 12 cdot 3pi = 3pi2 é

Resposta

O valor médio de $ f(x) = \left(4 - x{2}\right){3/2} $ no intervalo [0, 2] é $ \frac{3\pi}{2} $.

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