Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo. A questão pede para a gente encontrar o valor médio da função $ f(x) = \left(4 - x{2}\right){3/2} $ no intervalo de $ x $ igual a 0 até 2.
O que precisamos saber:
Valor médio de uma função: É basicamente a média dos valores que a função assume em um determinado intervalo.
Integral definida: Vamos usar integração para calcular essa média.
Intervalo [0, 2]: É o intervalo onde vamos calcular o valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função $ f(x) $ no intervalo :
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 2 $. Então, a fórmula fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{2} \left(4 - x{2}\right){3/2} , dx $. Para isso, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração.
Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
No entanto, observamos que na nossa integral original não temos um termo de $ x $, então essa substituição não simplifica diretamente a integral. Nesse caso, vamos usar outra abordagem.
Passo 4
Vamos expandir a expressão $ \left(4 - x{2}\right){3/2} $. Podemos reescrever essa expressão como:
Reconhecemos que isso se assemelha à forma de uma função trigonométrica. Vamos usar a substituição trigonométrica para simplificar a integral.
Vamos usar:
E quando $ x = 0 $:
Quando $ x = 2 $:
Passo 5
Substituindo $ x = 2 \sin \theta $ na integral:
Simplificando dentro da integral:
Então, temos:
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Agora, precisamos calcular $ \int \cos^{4} \theta , d\theta $. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica para reduzir a potência:
Então, a integral se torna:
Ainda precisamos simplificar $ \cos^{2} 2\theta $:
Substituindo de volta:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
theta = pi2
Para $ \theta = 0 $:
32 cdot pi2 + sin pi + sin 2pi8 = 3pi4 + 0 + 0 = 3pi4
Então, a diferença é:
theta = 0
Multiplicando pelo 32 cdot 0 + sin 0 + sin 08 = 0 + 0 + 0 = 0 :