Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Esse tipo de integral envolve raiz de expressão quadrática, então vamos usar substituição trigonométrica.
Passo 2
Escolhemos a substituição
, pois assim
. Calculamos também
.
Passo 3
Substituindo na integral, obtemos
[
\int \frac{dx}{(4x2-25){3/2}}=\int \frac{\tfrac{5}{2}\sec\theta\tan\theta,d\theta}{(25\tan2\theta){3/2}}
=\frac{1}{50}\int \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta},d\theta
=\frac{1}{50}\int \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta},d\theta.
\int \frac{dx}{(4x2-25){3/2}}=\int \frac{\tfrac{5}{2}\sec\theta\tan\theta,d\theta}{(25\tan2\theta){3/2}}
=\frac{1}{50}\int \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta},d\theta
=\frac{1}{50}\int \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta},d\theta.
Passo 4
Para integrar
, fazemos
,
. A integral vira
.
Passo 5
Voltando para
, usamos
. Substituindo em
e simplificando, chega-se a
.