integral d x(4 x^2-25)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral dx(4x^2-25)^3/2. Esse tipo de integral envolve raiz de expressão quadrática, então vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos a substituição x=tfrac52sectheta, pois assim 4x^2-25=25tan^2theta. Calculamos também dx=tfrac52secthetatantheta,dtheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
[
\int \frac{dx}{(4x2-25){3/2}}=\int \frac{\tfrac{5}{2}\sec\theta\tan\theta,d\theta}{(25\tan2\theta){3/2}}
=\frac{1}{50}\int \frac{\sec\theta}{\tan^2\theta},d\theta
=\frac{1}{50}\int \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta},d\theta.

Passo 4

Para integrar integral costhetasin^2theta,dtheta, fazemos u=sintheta, du=costheta,dtheta. A integral vira tfrac150integral u^-2du=-tfrac150u+C=-tfrac150sintheta+C.

Passo 5

Voltando para x, usamos sintheta=raiz4x^2-252x. Substituindo em -tfrac150sintheta e simplificando, chega-se a -tfracx25raiz4x^2-25+C.

Resposta

-x25raiz4x^2-25 + C

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