Encontre o valor médio de f(x, y)=x sobre a região anular a^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant b^{2}

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=x sobre a região anular
a^{2}\le x^{2}+y^{2}\le b^{2}.
O conteúdo é cálculo do valor médio de função de duas variáveis, usando dupla integral e coordenadas polares.

Passo 2

O valor médio de f sobre uma região D é
\bar f=\frac{1}{\mathrm{Area}(D)}\iint_{D}f(x,y)\,\mathrm{d}A.
Aqui \mathrm{Area}(D)=\pi\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr), logo
\bar f =\frac{1}{\pi\,(b^{2}-a^{2})} \iint_{a^{2}\le x^{2}+y^{2}\le b^{2}}x\,\mathrm{d}A.

Passo 3

Em coordenadas polares temos x=r\cos\theta e \mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. Então
\iint_{D}x\,\mathrm{d}A =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{a}^{b}r\cos\theta\,(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta) =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta\Bigr)\Bigl(\int_{a}^{b}r^{2}\,\mathrm{d}r\Bigr).
Como
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta=0,
segue que \iint_{D}x\,\mathrm{d}A=0.

Passo 4

Substituindo no valor médio,
\bar f =\frac{1}{\pi\,(b^{2}-a^{2})}\times 0 =0.

Resposta

0

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