Utilize coordenadas polares para combinar as integrais
∫_{1 / \sqrt{2}}^{1} ∫_{\sqrt{1-x^{2}}}^{x} x y d y d x+\int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \int_{\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} x y d y d x em uma única integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede para unir em uma única integral dupla a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=1 e pela reta y=x, dividida em dois trechos em coordenadas cartesianas, e então passar para coordenadas polares. Vamos usar a troca
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Na soma
\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\!\int_{\sqrt{1-x^2}}^{x}x\,y\,dy\,dx + \int_{0}^{1/\sqrt{2}}\!\int_{x}^{\sqrt{1-x^2}}x\,y\,dy\,dx
o primeiro termo cobre a parte em que x vai de 1/\sqrt{2} a 1 e \sqrt{1-x^2}\le y\le x, e o segundo cobre 0\le x\le1/\sqrt{2} com x\le y\le\sqrt{1-x^2}. A união dessas duas partes é exatamente
R=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge x,\;x^2+y^2\le1\}\,.

Passo 3

Em coordenadas polares, a condição x^2+y^2\le1 vira 0\le r\le1 e a reta y=x corresponde a \theta=\pi/4. Como estamos no primeiro quadrante acima de y=x, temos
\pi/4\le\theta\le \pi/2,\quad 0\le r\le1.

Passo 4

Na passagem para polares substituímos
x\,y\,dA = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = r^3\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Resposta

\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1} r^3\cos\theta\sin\theta \;dr\,d\theta.

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