Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.
∫_{0}^{2} ∫_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\;dx.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano xy. Como x vai de 0 a 2 e y vai de 0 a \sqrt{4 - x^{2}}, a região é o quarto de um disco de raio 2 no primeiro quadrante.

Passo 3

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
o Jacobiano é r, e os limites ficam
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}.

Passo 4

O integrando \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira r, e dy\,dx vira r\,dr\,d\theta. Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2}r\cdot r\;dr\;d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2}r^{2}\;dr\;d\theta.

Passo 5

Primeiro calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2}r^{2}\;dr = \frac{r^{3}}{3}\Bigg|_{0}^{2} = \frac{8}{3}.

Passo 6

Em seguida integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\frac{8}{3}\;d\theta = \frac{8}{3}\,\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\frac{4\pi}{3}

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