- Encontre o valor médio da função
sobre a esfera sólida delimitada pela esfera
. (Esta é a esfera
.)
Passo 1
O enunciado pede o valor médio da função f(r,θ,z)=r sobre a esfera sólida x²+y²+z²≤1. O conteúdo aplicado é valor médio de função em regiões volumétricas, usando
.
Passo 2
A esfera sólida de raio 1 tem volume
.
Passo 3
Usamos coordenadas esféricas:
,
,
. Nelas r=√(x²+y²)=ρ\sinφ e o elemento de volume é
.
Passo 4
Montamos a integral de f·dV:
Aqui o integrando é f=ρ\sinφ vezes o fator de volume ρ²\sinφ.
Passo 5
Calculamos as partes:
,
,
.
Logo .
Logo
Passo 6
O valor médio é