1. Encontre o valor médio da função f(r, theta, z)=r sobre a esfera sólida delimitada pela esfera r^2+z^2=1. (Esta é a esfera x^2+y^2 +z^2=1.)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função f(r,θ,z)=r sobre a esfera sólida x²+y²+z²≤1. O conteúdo aplicado é valor médio de função em regiões volumétricas, usando bar f=1VintegralV f,dV.

Passo 2

A esfera sólida de raio 1 tem volume V=43pi.

Passo 3

Usamos coordenadas esféricas: x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ. Nelas r=√(x²+y²)=ρ\sinφ e o elemento de volume é dV=ρ²sinφ,dρ,dφ,dθ².

Passo 4

Montamos a integral de f·dV:
integralθ=0^2πintegralφ=0^πintegralρ=0^1(ρsinφ),(ρ²sinφ),dρ,dφ,dθ²
Aqui o integrando é f=ρ\sinφ vezes o fator de volume ρ²\sinφ.

Passo 5

Calculamos as partes:
integral0^1ρ^3,dρ=1/4,
integral0^πsin^2φ,dφ=π/2,
integral0^2πdθ=2π.
Logo integralVf,dV=2π·14·π2=π^24.

Passo 6

O valor médio é
bar f=1VintegralVf,dV=π^2/4(4/3)π=3π16

Resposta

dfrac3pi16

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