Utilize a definição de integral de superfície para calcular
onde
e
é a fronteira da região sólida
delimitada superiormente pelo parabolóide
, inferiormente pela esfera
e lateralmente pelo cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é um campo vetorial dado e
é a fronteira de uma região sólida
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como transformar uma integral de superfície em uma integral de volume e calcular a divergência do campo vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite converter a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume em uma integral de volume da divergência desse campo dentro do volume. Ou seja:
Então, nosso objetivo agora é calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre a região
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Aplicando isso ao nosso
:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, vamos transformar a integral de superfície em uma integral de volume usando o Teorema da Divergência:
Para resolver essa integral, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a lateral da região
é definida por um cilindro
, o que sugere que
nas coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume
é dado por
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos analisar a integral:
Note que o termo
se anula ao integrar em
de
a
devido à simetria das funções seno e cosseno. Então, a integral simplifica para:
Agora, precisamos determinar os limites de
. A região
é limitada superiormente pelo paraboloide
e inferiormente pela esfera
. Resolvendo para
na esfera:
Como estamos abaixo do paraboloide, usamos a solução menor:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a integral fica:
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral de superfície
equivale a: