Utilize a definição de integral de superfície para calcular integral duplaS F d S onde F(x, y, z)=(e^cos (y^2 z^5)+tan (yz), ln (raizx cos z), 4 x y z+2 z) e S é a fronteira da região sólida E delimitada superiormente pelo parabolóide z=4-x^23-y^23, inferiormente pela esfera x^2+y^2+(z+1)^2=25 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é um campo vetorial dado e é a fronteira de uma região sólida . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como transformar uma integral de superfície em uma integral de volume e calcular a divergência do campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite converter a integral de superfície de um campo vetorial sobre a fronteira de um volume em uma integral de volume da divergência desse campo dentro do volume. Ou seja:
integral duplaS F , dS = integral triplaE nabla cdot F , dV
Então, nosso objetivo agora é calcular a divergência de e depois integrar isso sobre a região .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z . A divergência de um campo vetorial F(x, y, z) = (e^cos(y^2 z^5) + tan(yz), ln(raizx cos z), 4 x y z + 2 z) é dada por:
partial F1partial x = 0 (pois (F1) não depende de (x))
Aplicando isso ao nosso partial F2partial y = 0 (pois (F2) não depende de (y)) :
partial F3partial z = 4 x y + 2
Calculando cada derivada parcial:
nabla cdot F = 0 + 0 + (4 x y + 2) = 4 x y + 2 ã
ã
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora, vamos transformar a integral de superfície em uma integral de volume usando o Teorema da Divergência:
integral duplaS F , dS = integral triplaE (4 x y + 2) , dV
Para resolver essa integral, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a lateral da região x = r cos theta, y = r sin theta, z = z é definida por um cilindro integral triplaE (4 r cos theta cdot r sin theta + 2) cdot r , dz , dr , dtheta = integral triplaE (4 r^2 cos theta sin theta + 2) r , dz , dr , dtheta , o que sugere que nas coordenadas cilíndricas.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é dado por .
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos analisar a integral:
integral0^2pi integral0^3 integralzinferior^zsuperior (4 r^2 cos theta sin theta + 2) r , dz , dr , dtheta
Note que o termo integral0^2pi integral0^3 integralzinferior^zsuperior 2 r , dz , dr , dtheta se anula ao integrar em (z + 1)^2 = 25 - r^2 implies z = -1 pm raiz25 - r^2 de zinferior = -1 - raiz25 - r^2, zsuperior = 4 - r^23 a integral0^2pi integral0^3 [2 r (4 - r^23 - (-1 - raiz25 - r^2))] dr , dtheta devido à simetria das funções seno e cosseno. Então, a integral simplifica para:
4 - r^23 + 1 + raiz25 - r^2 = 5 - r^23 + raiz25 - r^2
Agora, precisamos determinar os limites de integral0^2pi integral0^3 2 r (5 - r^23 + raiz25 - r^2) dr , dtheta . A região é limitada superiormente pelo paraboloide e inferiormente pela esfera . Resolvendo para na esfera:
Como estamos abaixo do paraboloide, usamos a solução menor:
Portanto, a integral se torna:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a integral fica:

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral de superfície 40 pi equivale a:

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