1. Encontre o comprimento e o centróide da curva parametrizada por x(t)=1+4 t, y(t)=4-3 t,-1 \leq t \leq 1 através de integrais de linha. Explique como chegar à mesma resposta geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento e o centróide da curva parametrizada
x(t)=1+4t,\quad y(t)=4-3t,\quad -1\le t\le1,
usando integrais de linha, e depois verificar o resultado geometricamente.
O conteúdo necessário é:
– comprimento de arco
L=\int_{a}^{b}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt,
– coordenadas do centróide de um arco
\bar x=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}x(t)\,ds,\quad \bar y=\frac{1}{L}\int_{a}^{b}y(t)\,ds,
em que ds=\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos r'(t) e a diferencial de arco ds.
r'(t)=(x'(t),y'(t))=(4,\,-3),
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\|r'(t)\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5,
e portanto
ds=5\,dt.

Passo 3

O comprimento da curva é
L=\int_{-1}^{1}5\,dt =5\bigl[t\bigr]_{-1}^{1} =5\bigl(1-(-1)\bigr) =10.

Passo 4

Agora encontramos o centróide por integrais de linha.
Primeiro
\int_{-1}^{1}x(t)\,ds =\int_{-1}^{1}(1+4t)\cdot5\,dt =5\int_{-1}^{1}(1+4t)\,dt =5\bigl([t+2t^{2}]_{-1}^{1}\bigr) =5\bigl((1+2)-(-1+2)\bigr) =10.
Depois
\int_{-1}^{1}y(t)\,ds =\int_{-1}^{1}(4-3t)\cdot5\,dt =5\int_{-1}^{1}(4-3t)\,dt =5\bigl([4t-\tfrac32t^{2}]_{-1}^{1}\bigr) =5\bigl((4-1.5)-(-4-1.5)\bigr) =40.
Assim as coordenadas do centróide são
\bar x=\frac{10}{L}=\frac{10}{10}=1,\qquad \bar y=\frac{40}{L}=\frac{40}{10}=4.

Passo 5

Geometricamente a curva é um segmento de reta de A=(-3,7) (em t=-1) até B=(5,1) (em t=1).
O comprimento é a distância
AB=\sqrt{(5-(-3))^{2}+(1-7)^{2}}=\sqrt{8^{2}+(-6)^{2}}=10,
e o centróide de um segmento de reta é seu ponto médio, dado por
\Bigl(\frac{-3+5}{2},\,\frac{7+1}{2}\Bigr)=(1,4),
coincidindo com o resultado das integrais.

Resposta

Comprimento L=10.
Centróide (\bar x,\bar y)=(1,4).

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