O Princípio de Cavalieri é um importante resultado da geometria espacial que permite comparar volumes de sólidos diferentes. Assinale a alternativa que melhor descreve esse princípio.
a) Dois sólidos têm o mesmo volume se possuírem a mesma área da base e a mesma altura.
b) Dois sólidos têm o mesmo volume se, para todo plano paralelo a um plano de referência, as áreas das seções transversais correspondentes forem iguais.
c) Dois sólidos têm o mesmo volume se forem limitados por planos paralelos e possuírem formato idêntico.
d) Dois sólidos têm o mesmo volume se apresentarem a mesma altura, independentemente da forma da base.
e) Dois sólidos têm o mesmo volume se a soma das áreas de todas as suas faces for igual.
a) Dois sólidos têm o mesmo volume se possuírem a mesma área da base e a mesma altura.
b) Dois sólidos têm o mesmo volume se, para todo plano paralelo a um plano de referência, as áreas das seções transversais correspondentes forem iguais.
c) Dois sólidos têm o mesmo volume se forem limitados por planos paralelos e possuírem formato idêntico.
d) Dois sólidos têm o mesmo volume se apresentarem a mesma altura, independentemente da forma da base.
e) Dois sólidos têm o mesmo volume se a soma das áreas de todas as suas faces for igual.
Passo 1
O enunciado pede para identificar a formulação correta do Princípio de Cavalieri, que é um resultado da geometria espacial usado para comparar volumes de dois sólidos sem recorrer a fórmulas de integração, mas sim às áreas de suas seções transversais.
Passo 2
O Princípio de Cavalieri afirma que, dados dois sólidos
e
de mesma altura, se para todo plano paralelo a um plano de referência a área da seção de
for igual à área da seção correspondente de
, então os volumes dos dois sólidos são iguais. Em notação, se para cada altura
temos
então
A alternativa (b) descreve exatamente esse enunciado: “Dois sólidos têm o mesmo volume se, para todo plano paralelo a um plano de referência, as áreas das seções transversais correspondentes forem iguais.” Portanto, (b) está de acordo com Cavalieri.
Passo 3
A alternativa (a) diz que basta mesma área da base e mesma altura para igualar volumes. Isso vale apenas para prismas e cilindros, não para sólidos gerais de perfil variável, então (a) está incorreta.
A alternativa (c) fala em “formato idêntico” e planos paralelos, mas não menciona a igualdade de áreas de seções para cada altura. A (d) afirma que basta ter mesma altura, o que ignora totalmente a base. A (e) relaciona volumes à soma das áreas das faces, o que não corresponde a nenhum resultado de geometria espacial. Todas estão erradas.
A alternativa (c) fala em “formato idêntico” e planos paralelos, mas não menciona a igualdade de áreas de seções para cada altura. A (d) afirma que basta ter mesma altura, o que ignora totalmente a base. A (e) relaciona volumes à soma das áreas das faces, o que não corresponde a nenhum resultado de geometria espacial. Todas estão erradas.
Resposta
b) Dois sólidos têm o mesmo volume se, para todo plano paralelo a um plano de referência, as áreas das seções transversais correspondentes forem iguais.