Encontre o valor mínimo de h para o qual a comporta mostrada girará no sentido antihorário, se a seção transversal da comporta for quadrada
. Despreze o atrito no rolamento. (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor mínimo de
para o qual a comporta mostrada girará no sentido anti-horário. Foi informada a seção transversal da comporta como um quadrado de
e que o atrito no rolamento deve ser desprezado.
Informações explícitas dadas pelo enunciado: a seção transversal é
.
o sentido de giro desejado é anti-horário.
desprezar atrito no rolamento.
Informações que faltam (e que dependem da figura que deveria acompanhar o enunciado):
Informações explícitas dadas pelo enunciado:
Informações que faltam (e que dependem da figura que deveria acompanhar o enunciado):
- posição e geometria do pivô / ponto de contato (por exemplo: pivô no canto inferior, comportamento de rolar sobre um apoio, ou eixo em um lado?).
- definição precisa de
: é a altura da coluna d’água acima da borda superior da comporta, ou acima da base, ou a profundidade do nível (medida desde o topo da água até algum ponto da comporta)? - massa (ou peso) da comporta, ou sua densidade/espessura/material, para calcular o momento resistente devido ao peso.
- orientação da comporta (superfície plana vertical exposta à água? a face quadrada está vertical?) e se a face de
é a superfície de contato com a água. - referência do nível livre da água e quais faces estão sujeitas à pressão hidrostática (lado esquerdo ou direito?).
Sem a figura e sem essas informações essenciais, não é possível calcular numericamente o valor mínimo de
. A seguir explico passo a passo o método didático que se usaria assim que as informações acima estiverem disponíveis — isso te ensina como resolver o problema na prova.
Passo 2
Visão geral do método (o raciocínio físico): a água exerce uma força hidrostática sobre a face da comporta; essa força tem uma resultante
(módulo) aplicada em uma profundidade chamada centro de pressão. Para a comporta começar a girar no sentido anti-horário (rolar sem atrito), o momento (torque) da força hidrostática em torno do ponto de rotação deve vencer o momento resistente fornecido pelo peso da comporta (que age pelo seu centro de gravidade). Então usamos o equilíbrio de momentos em torno do ponto de rotação e achamos o menor
que faz o momento da água maior ou igual ao momento do peso.
Passo 3
Fórmula da pressão e da força hidrostática em uma superfície plana vertical:
a pressão estática em uma profundidade
(medida vertical a partir do nível livre) vale
onde
é a massa específica do fluido (água:
) e
é a aceleração da gravidade (use
).
A força total (resultante) sobre uma superfície plana vertical é a integral da pressão sobre a área:
onde
é a área da face imersa e
é a profundidade do centroide da área em relação ao nível livre. Explicando:
é área exposta (no caso de uma face quadrada
, se totalmente submersa,
).
é a profundidade do centro da área medida a partir do nível d’água. Se a face não estiver totalmente submersa, a integral e a expressão para
devem ser ajustadas ao intervalo submerso.
Passo 4
Posição da resultante (centro de pressão): a força resultante não atua no centroide; ela atua mais abaixo. A profundidade do centro de pressão
para uma superfície plana vertical é
onde
é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centroide da área e é paralelo à superfície livre. Explicando cada termo:
depende da geometria da área; por exemplo, para um retângulo de altura
e largura
(altura no sentido vertical), com centro no seu meio,
(Se a face for a do quadrado
, então
no sentido vertical e
é a largura na direção perpendicular ao plano da figura; adaptar conforme a orientação na figura.)
Passo 5
Momento da força hidrostática em relação ao ponto de rotação: seja
o ponto de contato/pivô (o ponto sobre o qual a comporta começa a rolar). A força resultante
aplicada na profundidade
produz um momento em torno de
igual a
onde
é o braço de alavanca horizontal/vertical apropriado entre
e a linha de ação de
. É essencial desenhar no problema real: identificar coordenadas e medir
corretamente (pode ser uma distância horizontal se o pivô estiver deslocado, ou vertical se necessário). Sem a figura não dá para fixar
.
Passo 6
Momento resistente devido ao peso da comporta: o peso
da comporta atua no seu centro de gravidade (centroide da massa) e produz um momento em relação a
igual a
onde
é o braço do peso em relação ao ponto
. Para uma comporta uniforme prismática de seção
e comprimento
(no sentido perpendicular à página), o peso é
ou, se for fornecido o peso por metro, usar essa informação. O local do centro de gravidade para um bloco homogêneo é o centro da seção. Novamente, sem saber a massa/espessura/material e a posição relativa de
não é possível avaliar
.
Passo 7
Condição de tombamento / início do rolamento (critério): desprezando atrito, a comporta começará a rolar (girar) quando o momento hidrostático que tende a girar a comporta no sentido anti-horário for maior ou igual ao momento resistente do peso no sentido horário, ou seja
Substituindo as expressões simbólicas:
Isolando a variável
(que aparece em
e possivelmente em
e em
, dependendo de como
é definido) nos daria o valor mínimo de
. Mas sem a relação geométrica exata entre
,
,
,
e sem o valor de
, não podemos isolar numericamente
.
Passo 8
Resumo do que seria feito numericamente assim que a figura e dados chegarem:
- identificar claramente o ponto
(pivô/contato) e a referência do nível livre; - expressar
(profundidade do centroide da área imersa) em função de ; - calcular
(área imersa) e para obter e então ; - determinar o braço
(distância entre e a linha de ação de ); - calcular
(peso) e o braço do peso em relação a ; - aplicar a condição
para encontrar e verificar se a solução é fisicamente consistente (por exemplo, que a parte exposta/imersa permanece como assumido).
Eu te ajudo a fazer esses cálculos passo a passo se você colar a figura (ou descrever exatamente a posição do pivô/contato, a definição de
e o peso ou densidade/espessura da comporta).
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a figura e informações essenciais (posição do eixo/pivô ou ponto de rolamento, definição geométrica exata de
, e o peso ou densidade/espessura da comporta) não foram fornecidas.