R: \quad 0 \leq x-y+2 z \leq 1, \quad 1 \leq x+y-2 z \leq 2 \text { e } 0 \leq z \leq 1
calcule
\iiint_{R} \frac{x-y+2 z}{x+y-2 z} d x d y d z
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} \frac{x-y+2 z}{x+y-2 z}\, dx\, dy\, dz
na região R definida pelas desigualdades
0 \leq x-y+2 z \leq 1,\qquad 1 \leq x+y-2 z \leq 2,\qquad 0 \leq z \leq 1.
Informações relevantes dadas:
As expressões x-y+2z e x+y-2z aparecem tanto nas desigualdades que definem R quanto no integrando.
O intervalo de z é 0\leq z\leq 1.
O integrando é a razão das duas expressões lineares que aparecem nas desigualdades.
Passo 2
Idéia para simplificar: definir variáveis que coincidam com as combinações lineares que já aparecem no enunciado. Isso costuma transformar a região em um retângulo e o integrando fica simples. Definimos as novas variáveis
u = x-y+2z,\qquad v = x+y-2z,\qquad w = z.
Observação didática: sempre que o integrando e os limites usam combinações lineares de x,y,z, escolher essas combinações como novas variáveis normalmente torna a integral muito mais fácil.
Passo 3
Precisamos escrever x,y,z em função de u,v,w (inverter o sistema). Somando u+v e usando w=z obtemos
Determinante: por bloco triangular o determinante é o produto da diagonal da parte triangular, ou calcular a determinante da submatriz 2\times2 superior esquerda multiplicada por 1. Assim
Portanto a região em (u,v,w) é o produto retangular [0,1]\times[1,2]\times[0,1]. Observação: como a transformação é bijetora linear, não há mais restrição oculta; as desigualdades originais se traduzem nessas faixas simples.
Passo 6
Escrevemos a integral na nova variável. O integrando \dfrac{x-y+2z}{x+y-2z} é exatamente \dfrac{u}{v}. Assim