(Extra) ( 2,0 pontos) Dada a região
R: \quad 0 \leq x-y+2 z \leq 1, \quad 1 \leq x+y-2 z \leq 2 \text { e } 0 \leq z \leq 1
calcule
\iiint_{R} \frac{x-y+2 z}{x+y-2 z} d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{R} \frac{x-y+2 z}{x+y-2 z}\, dx\, dy\, dz
na região R definida pelas desigualdades
0 \leq x-y+2 z \leq 1,\qquad 1 \leq x+y-2 z \leq 2,\qquad 0 \leq z \leq 1.
Informações relevantes dadas:
  • As expressões x-y+2z e x+y-2z aparecem tanto nas desigualdades que definem R quanto no integrando.
  • O intervalo de z é 0\leq z\leq 1.
  • O integrando é a razão das duas expressões lineares que aparecem nas desigualdades.

Passo 2

Idéia para simplificar: definir variáveis que coincidam com as combinações lineares que já aparecem no enunciado. Isso costuma transformar a região em um retângulo e o integrando fica simples. Definimos as novas variáveis
u = x-y+2z,\qquad v = x+y-2z,\qquad w = z.
Observação didática: sempre que o integrando e os limites usam combinações lineares de x,y,z, escolher essas combinações como novas variáveis normalmente torna a integral muito mais fácil.

Passo 3

Precisamos escrever x,y,z em função de u,v,w (inverter o sistema). Somando u+v e usando w=z obtemos
u+v = (x-y+2z)+(x+y-2z)=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u+v}{2}.
Subtraindo v-u obtemos
v-u = (x+y-2z)-(x-y+2z)=2y-4z \quad\Rightarrow\quad 2y = v-u+4z.
Como z=w temos
y = \frac{v-u}{2} + 2w.
E obviamente
z = w.
Portanto a inversa é
x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{v-u}{2}+2w,\qquad z=w.

Passo 4

Vamos calcular o Jacobiano J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}. A matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante: por bloco triangular o determinante é o produto da diagonal da parte triangular, ou calcular a determinante da submatriz 2\times2 superior esquerda multiplicada por 1. Assim
\det J = 1\cdot\det\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Como usamos a mudança (u,v,w)\mapsto(x,y,z) e queremos dx\,dy\,dz, temos
dx\,dy\,dz = \left|\det J\right|\, du\, dv\, dw = \frac{1}{2}\, du\, dv\, dw.
Explicação didática: o Jacobiano mede a razão entre pequenos volumes em (x,y,z) e em (u,v,w); aqui é constante porque a transformação é afim linear.]

Passo 5

Determinar a região em termos de (u,v,w). Usamos diretamente as desigualdades do enunciado, que são precisamente os limites de u e v, e w=z:
0\le u\le 1,\qquad 1\le v\le 2,\qquad 0\le w\le 1.
Portanto a região em (u,v,w) é o produto retangular [0,1]\times[1,2]\times[0,1]. Observação: como a transformação é bijetora linear, não há mais restrição oculta; as desigualdades originais se traduzem nessas faixas simples.

Passo 6

Escrevemos a integral na nova variável. O integrando \dfrac{x-y+2z}{x+y-2z} é exatamente \dfrac{u}{v}. Assim
\iiint_{R}\frac{x-y+2z}{x+y-2z}\,dx\,dy\,dz = \iiint_{[0,1]\times[1,2]\times[0,1]} \frac{u}{v}\cdot\frac{1}{2}\, du\, dv\, dw.
Fator constante e independência de w permitem separar a integral em w e em (u,v).

Passo 7

Integrando primeiro em w (é simples porque o integrando não depende de w):
\frac{1}{2}\int_{w=0}^{1} dw \int_{u=0}^{1}\int_{v=1}^{2}\frac{u}{v}\, dv\, du = \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \int_{u=0}^{1}\left( u\int_{v=1}^{2}\frac{1}{v}\, dv\right) du.
A integral em v é a integral do recíproco:
\int_{v=1}^{2}\frac{1}{v}\, dv = \left[\ln v\right]_{1}^{2} = \ln 2.

Passo 8

Substituindo o resultado anterior:
\frac{1}{2}\int_{u=0}^{1} u\cdot \ln 2\, du = \frac{\ln 2}{2}\int_{0}^{1} u\, du.
Calcule a integral de u:
\int_{0}^{1} u\, du = \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Logo o valor total é
\frac{\ln 2}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\ln 2.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln 2

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