Encontre o(s) valor(es) de a de modo que o sistema S:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y+a z=3 \\\ x+a y+3 z=2\end{array}\right. tenha:
a) uma única solução
b) mais de uma solução
c) nenhuma solução

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O sistema é S:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1 \\[4pt] 2x+3y+a z=3 \\[4pt] x+a y+3z=2\end{array}\right..
  • A incógnita do problema é o parâmetro a. Queremos classificar o sistema dependendo de a.
  • As perguntas são:
    • (a) Para que valores de a o sistema tem uma única solução?
    • (b) Para que valores de a o sistema tem mais de uma solução?
    • (c) Para que valores de a o sistema não tem solução?]

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal (explicação didática).
  • Para sistemas lineares quadrados 3\times3 como este, uma ferramenta rápida é o determinante da matriz dos coeficientes. Se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, o sistema é compatível determinado (ou seja, tem exatamente uma solução). Isso vem da teoria de matrizes: \det(A)\neq0 \Rightarrow A é invertível e a solução é X=A^{-1}b.
  • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e o sistema pode ser ou indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução). Nesse caso precisamos analisar consistência usando redução por linhas (eliminação de Gauss) ou comparar postos (rank).
  • Vou calcular \det(A) primeiro. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 3 & a\\[4pt] 1 & a & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo do determinante \det(A) passo a passo.
Usando a regra de Sarrus / desenvolvimento pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\big(3\cdot3-a\cdot a\big) -1\cdot\big(2\cdot3-a\cdot1\big) +(-1)\cdot\big(2\cdot a-3\cdot1\big).
Agora simplificando termo a termo:
\det(A)= (9-a^{2}) - (6-a) - (2a-3).
Agrupando termos semelhantes:
\det(A)=9-a^{2}-6+a-2a+3 = 6 - a^{2} - a .
Fatorando:
\det(A)=-(a^{2}+a-6)=-(a+3)(a-2).

Passo 4

Interpretação do determinante encontrada.
  • \det(A)\neq0 sempre que (a+3)(a-2)\neq0, ou seja, para a\neq -3 e a\neq 2.
  • Portanto, se a\neq -3 e a\neq 2 o sistema tem única solução (já respondemos a parte (a) em princípio). Mas ainda precisamos examinar os casos a=2 e a=-3 para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 5

Análise do caso a=2 (determinante nulo): verificar consistência e encontrar a forma geral das soluções.
Substituindo a=2 no sistema obtemos
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=1,\\[4pt] 2x+3y+2z=3,\\[4pt] x+2y+3z=2. \end{array}\right.
Montamos a matriz aumentada e fazemos eliminação (mostro as operações e por que faço cada uma).
Matriz aumentada inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 2 & 3 & 2 & \vline & 3\\[4pt] 1 & 2 & 3 & \vline & 2 \end{pmatrix}.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - R_1 para zerar a primeira coluna abaixo de R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 1 & 4 & \vline & 1 \end{pmatrix}.
Agora R_2 e R_3 são idênticas, ou seja há apenas duas linhas independentes na parte de coeficientes: o posto da matriz dos coeficientes é 2. Como a linha aumentada correspondente também coincide, o posto da matriz aumentada é também 2. Portanto o sistema é compatível indeterminado: há infinitas soluções (mais de uma).
Para parametrizar as soluções (útil para ver “como” são infinitas): use a segunda linha 0x+1y+4z=1 e a primeira x+y-z=1.
Da segunda: \,y=1-4z.
Substituindo na primeira:
x+(1-4z)-z=1 \quad\Rightarrow\quad x-5z=0 \quad\Rightarrow\quad x=5z.
Tomando z=t (parâmetro livre), obtemos a família de soluções
(x,y,z)=(5t,\;1-4t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R},
confirmando que existem infinitas soluções para a=2.]

Passo 6

Análise do caso a=-3 (determinante nulo): verificar consistência.
Substituindo a=-3 obtemos o sistema
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=1,\\[4pt] 2x+3y-3z=3,\\[4pt] x-3y+3z=2. \end{array}\right.
Matriz aumentada inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 2 & 3 & -3 & \vline & 3\\[4pt] 1 & -3 & 3 & \vline & 2 \end{pmatrix}.
Faço as mesmas operações lineares para eliminar abaixo da primeira coluna: R_2\leftarrow R_2-2R_1 e R_3\leftarrow R_3-R_1. Isso dá:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & \vline & 1\\[4pt] 0 & -4 & 4 & \vline & 1 \end{pmatrix}.
Agora observe que R_3 + 4R_2 resulta em
R_3 + 4R_2 = (0,0,0 \mid 1+4\cdot1) = (0,0,0 \mid 5).
Isso corresponde à equação 0=5, que é uma contradição. Na linguagem de postos: as linhas de coeficientes mostram posto 2 (duas linhas independentes), mas a matriz aumentada tem posto 3 porque a linha aumentada não é combinação linear compatível — logo posto aumentado maior que o posto da matriz de coeficientes, e o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Portanto, para a=-3 o sistema não tem solução.]

Passo 7

Resumo final e interpretação amigável.
  • Quando \det(A)\neq0 (ou seja, a\neq -3 e a\neq 2), a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
  • Quando a=2 o determinante zera mas o sistema é compatível com posto igual ao número de incógnitas menos 1, então há infinitas soluções (mais de uma).
  • Quando a=-3 o determinante zera e o sistema fica inconsistente (aparece uma linha 0=5 depois da eliminação), então não há solução.

Resposta

(a) a\neq -3,\;2
(b) a=2
(c) a=-3

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