Encontre o(s) valor(es) de a de modo que o sistema S:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1 \\\\ 2 x+3 y+a z=3 \\\ x+a y+3 z=2\end{array}\right. tenha:
a) uma única solução
b) mais de uma solução
c) nenhuma solução
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O sistema é S:\left\{\begin{array}{l}x+y-z=1 \\[4pt] 2x+3y+a z=3 \\[4pt] x+a y+3z=2\end{array}\right..
A incógnita do problema é o parâmetro a. Queremos classificar o sistema dependendo de a.
As perguntas são:
(a) Para que valores de a o sistema tem uma única solução?
(b) Para que valores de a o sistema tem mais de uma solução?
(c) Para que valores de a o sistema não tem solução?]
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal (explicação didática).
Para sistemas lineares quadrados 3\times3 como este, uma ferramenta rápida é o determinante da matriz dos coeficientes. Se a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, o sistema é compatível determinado (ou seja, tem exatamente uma solução). Isso vem da teoria de matrizes: \det(A)\neq0 \Rightarrow A é invertível e a solução é X=A^{-1}b.
Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e o sistema pode ser ou indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução). Nesse caso precisamos analisar consistência usando redução por linhas (eliminação de Gauss) ou comparar postos (rank).
Vou calcular \det(A) primeiro. A matriz dos coeficientes é
\det(A)\neq0 sempre que (a+3)(a-2)\neq0, ou seja, para a\neq -3 e a\neq 2.
Portanto, se a\neq -3 e a\neq 2 o sistema tem única solução (já respondemos a parte (a) em princípio). Mas ainda precisamos examinar os casos a=2 e a=-3 para distinguir entre infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 5
Análise do caso a=2 (determinante nulo): verificar consistência e encontrar a forma geral das soluções.
Agora R_2 e R_3 são idênticas, ou seja há apenas duas linhas independentes na parte de coeficientes: o posto da matriz dos coeficientes é 2. Como a linha aumentada correspondente também coincide, o posto da matriz aumentada é também 2. Portanto o sistema é compatível indeterminado: há infinitas soluções (mais de uma).
Para parametrizar as soluções (útil para ver “como” são infinitas): use a segunda linha 0x+1y+4z=1 e a primeira x+y-z=1.
Da segunda: \,y=1-4z.
Substituindo na primeira:
Isso corresponde à equação 0=5, que é uma contradição. Na linguagem de postos: as linhas de coeficientes mostram posto 2 (duas linhas independentes), mas a matriz aumentada tem posto 3 porque a linha aumentada não é combinação linear compatível — logo posto aumentado maior que o posto da matriz de coeficientes, e o sistema é incompatível (nenhuma solução).
Portanto, para a=-3 o sistema não tem solução.]
Passo 7
Resumo final e interpretação amigável.
Quando \det(A)\neq0 (ou seja, a\neq -3 e a\neq 2), a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução.
Quando a=2 o determinante zera mas o sistema é compatível com posto igual ao número de incógnitas menos 1, então há infinitas soluções (mais de uma).
Quando a=-3 o determinante zera e o sistema fica inconsistente (aparece uma linha 0=5 depois da eliminação), então não há solução.