Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.
III. Se A é LD, então S não pode ser LI.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá as informações abaixo:
  • S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é um conjunto de três vetores distintos de \mathbb{R}^{3}.
  • A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\} e C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
  • Devemos analisar a veracidade das afirmativas:
    I. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
    II. Se S é gerador de \mathbb{R}^{3}, então A é linearmente independente (LI).
    III. Se A é linearmente dependente (LD), então S não pode ser LI.
  • A pergunta final é escolher, entre as alternativas (A) a (H), qual descreve corretamente quais afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Antes de atacar cada afirmativa, vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (isso é importante para você entender e poder aplicar nas questões da prova):
  • Definição de dependência linear para um conjunto de vetores: um conjunto \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LD se existem escalares, nem todos nulos, a_1,\dots,a_k tais que
a_1\vec{u}_1+\cdots+a_k\vec{u}_k=\vec{0}.
Se a única solução for a_1=\cdots=a_k=0, o conjunto é LI.
  • Para dois vetores \vec{u},\vec{w}: eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro, ou seja, \vec{w}=c\vec{u} para algum c\in\mathbb{R}.
  • Base de \mathbb{R}^{3}: é um conjunto de exatamente 3 vetores que é LI (e consequentemente gera todo \mathbb{R}^{3}). Em \mathbb{R}^{3}, qualquer conjunto de 3 vetores LI forma uma base.
  • Gerador (ou conjunto gerador / spanning set): um conjunto gera \mathbb{R}^{3} se suas combinações lineares podem produzir qualquer vetor de \mathbb{R}^{3}, isto é, seu espaço gerado tem dimensão 3.
  • Coplanaridade de três vetores: três vetores de \mathbb{R}^{3} são coplanares quando todos pertencem a algum mesmo plano passando pela origem; isso significa que seu espaço gerado tem dimensão menor ou igual a 2. Em particular, para três vetores em \mathbb{R}^{3}:
    • “são coplanares” ⇔ o conjunto é LD;
    • “não são coplanares” ⇔ o conjunto é LI (e então gera \mathbb{R}^{3}, pois são 3 vetores LI em \mathbb{R}^{3}).
Esses pontos serão usados diretamente nas análises das afirmativas.

Passo 3

Analisando a afirmativa I:
“I. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não são coplanares, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
  • Pelo que dissemos: três vetores não coplanares em \mathbb{R}^{3} significam que eles não pertencem a um mesmo plano, logo o espaço gerado por eles tem dimensão 3.
  • Ter dimensão 3 com exatamente 3 vetores implica que esses vetores são LI. Em \mathbb{R}^{3}, um conjunto de 3 vetores LI gera todo \mathbb{R}^{3}.
  • Portanto S é LI e gera \mathbb{R}^{3}, ou seja, S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário amigo: pense assim — se os três não ficam todos no mesmo plano, eles “ocupam” as três direções possíveis em \mathbb{R}^{3}; com três direções independentes, já se tem uma base.)

Passo 4

Analisando a afirmativa II:
“II. Se S é gerador do \mathbb{R}^{3}, então A é LI.”
  • Se S gera \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{span}(S)=\mathbb{R}^{3}. Como \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, o conjunto S (que tem 3 vetores) deve ter posto (rank) igual a 3; em outras palavras, S é LI. Isso porque três vetores que geram \mathbb{R}^{3} não podem ser linearmente dependentes (se fossem, gerariam espaço de dimensão ❤️).
  • Uma propriedade básica: qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Mais formalmente: se S é LI e existe uma combinação não trivial de vetores de um subconjunto que dá zero, essa combinação também é uma combinação não trivial em S, contradizendo a linearidade de S. Logo subconjuntos de um conjunto LI são LI.
  • Como S é LI, o subconjunto A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é LI.
Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Exemplo simples: se S é uma base, pegar dois vetores dela dá sempre dois vetores independentes — duas direções diferentes.)

Passo 5

Analisando a afirmativa III:
“III. Se A é LD, então S não pode ser LI.”
  • Se A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\} é LD, então \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são múltiplos escalares um do outro (pois são apenas dois vetores). Ou seja, existe c tal que \vec{v}_{2}=c\vec{v}_{1}. Assim \operatorname{span}(A) tem dimensão 1.
  • Ao acrescentar \vec{v}_{3} a esse conjunto, o máximo que o posto (ou dimensão do espaço gerado) pode atingir é 2: ou \vec{v}_{3} é múltiplo de \vec{v}_{1} também (então posto =1), ou \vec{v}_{3} é independente de \vec{v}_{1} (então posto =2). Em qualquer dos casos, o conjunto S não pode ter posto 3.
  • Ter posto menor que 3 em \mathbb{R}^{3} significa que S é LD. Logo, se A é LD, então S não pode ser LI.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Dica prática: dois vetores iguais em direção impedem que com um terceiro se consiga ter três direções independentes; portanto nunca dá para ter três vetores LI se dois já são dependentes.)

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(A) Todas são verdadeiras.

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