Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
não são coplanares, então
é uma base de
.
II. Se
é gerador do
, então
é LI.
III. Se
é LD, então
não pode ser LI.
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Todas são verdadeiras.
(B) Todas são falsas.
(C) Só III é verdadeira.
(D) Só II é verdadeira.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá as informações abaixo:
-
é um conjunto de três vetores distintos de . -
, e . - Devemos analisar a veracidade das afirmativas:
I. Senão são coplanares, então é uma base de .
II. Seé gerador de , então é linearmente independente (LI).
III. Seé linearmente dependente (LD), então não pode ser LI. - A pergunta final é escolher, entre as alternativas (A) a (H), qual descreve corretamente quais afirmações são verdadeiras.
Passo 2
Antes de atacar cada afirmativa, vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (isso é importante para você entender e poder aplicar nas questões da prova):
- Definição de dependência linear para um conjunto de vetores: um conjunto
é LD se existem escalares, nem todos nulos, tais que
Se a única solução for
, o conjunto é LI.
-
Para dois vetores
: eles são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro, ou seja, para algum . -
Base de
: é um conjunto de exatamente 3 vetores que é LI (e consequentemente gera todo ). Em , qualquer conjunto de 3 vetores LI forma uma base. -
Gerador (ou conjunto gerador / spanning set): um conjunto gera
se suas combinações lineares podem produzir qualquer vetor de , isto é, seu espaço gerado tem dimensão 3. -
Coplanaridade de três vetores: três vetores de
são coplanares quando todos pertencem a algum mesmo plano passando pela origem; isso significa que seu espaço gerado tem dimensão menor ou igual a 2. Em particular, para três vetores em : - “são coplanares” ⇔ o conjunto é LD;
- “não são coplanares” ⇔ o conjunto é LI (e então gera
, pois são 3 vetores LI em ).
Esses pontos serão usados diretamente nas análises das afirmativas.
Passo 3
Analisando a afirmativa I:
“I. Se não são coplanares, então
é uma base de
.”
“I. Se
- Pelo que dissemos: três vetores não coplanares em
significam que eles não pertencem a um mesmo plano, logo o espaço gerado por eles tem dimensão 3. - Ter dimensão 3 com exatamente 3 vetores implica que esses vetores são LI. Em
, um conjunto de 3 vetores LI gera todo . - Portanto
é LI e gera , ou seja, é uma base de .
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
(Comentário amigo: pense assim — se os três não ficam todos no mesmo plano, eles “ocupam” as três direções possíveis em
; com três direções independentes, já se tem uma base.)
Passo 4
Analisando a afirmativa II:
“II. Se é gerador do
, então
é LI.”
“II. Se
- Se
gera , então . Como tem dimensão 3, o conjunto (que tem 3 vetores) deve ter posto (rank) igual a 3; em outras palavras, é LI. Isso porque três vetores que geram não podem ser linearmente dependentes (se fossem, gerariam espaço de dimensão ❤️). - Uma propriedade básica: qualquer subconjunto de um conjunto LI também é LI. Mais formalmente: se
é LI e existe uma combinação não trivial de vetores de um subconjunto que dá zero, essa combinação também é uma combinação não trivial em , contradizendo a linearidade de . Logo subconjuntos de um conjunto LI são LI. - Como
é LI, o subconjunto é LI.
Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
(Exemplo simples: se
é uma base, pegar dois vetores dela dá sempre dois vetores independentes — duas direções diferentes.)
Passo 5
Analisando a afirmativa III:
“III. Se é LD, então
não pode ser LI.”
“III. Se
- Se
é LD, então e são múltiplos escalares um do outro (pois são apenas dois vetores). Ou seja, existe tal que . Assim tem dimensão . - Ao acrescentar
a esse conjunto, o máximo que o posto (ou dimensão do espaço gerado) pode atingir é : ou é múltiplo de também (então posto ), ou é independente de (então posto ). Em qualquer dos casos, o conjunto não pode ter posto . - Ter posto menor que
em significa que é LD. Logo, se é LD, então não pode ser LI.
Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
(Dica prática: dois vetores iguais em direção impedem que com um terceiro se consiga ter três direções independentes; portanto nunca dá para ter três vetores LI se dois já são dependentes.)
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é verdadeira.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto todas as afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(A) Todas são verdadeiras.