Encontrar o valor da seguinte integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações/givens importantes:
- A integranda é a soma de três parcelas: uma expressão racional em potências de
, e . - Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante arbitrária de integração
. - Precisamos simplificar a parte com potências antes de integrar.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a parte algébrica usando a regra de potências
Aplicando em cada termo da fração
:
- Para o termo
temos os expoentes . Logo
- Para o termo
usamos . Logo
Portanto a integranda simplificada é
Assim reescrevemos a integral como
Passo 3
Vamos integrar os termos do tipo potência. Recordando a fórmula básica:
onde
é qualquer número real (nesse contexto). Aplicamos termo a termo:
- Para
temos , então . Logo
- Para
temos , então . Assim
Expliquei passo a passo porque é comum errar os sinais ou a divisão por frações; aqui multiplicamos por
, que no segundo caso é
.
Passo 4
Agora integramos
. Há duas formas: lembrar a fórmula direta ou fazer substituição. Vou mostrar a substituição (didática):
Faça
. Então
, ou seja
.
Substituindo:
Substituindo:
Sabemos que
. Portanto
Obs.: em geral
; aqui
, então
.
Passo 5
Por último integramos
. De novo usamos substituição ou a fórmula
.
Tomando
, então
e
. Assim
Ou diretamente: aqui
, então
.
Passo 6
Agora somamos todas as primitivas obtidas termo a termo. Juntando os resultados dos passos anteriores:
- de
veio , - de
veio , - de
veio , - de
veio .
Portanto a antiderivada é a soma dessas expressões mais a constante
.