Encontrar o valor da seguinte integral
\int \frac{x-8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{4}}}+\sin \left(\frac{3 x}{5}\right)+e^{\frac{-2 x}{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-8 x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{4}}}+\sin \left(\frac{3 x}{5}\right)+e^{\frac{-2 x}{3}}\, d x.
Informações/givens importantes:
  • A integranda é a soma de três parcelas: uma expressão racional em potências de x, \sin\!\left(\frac{3x}{5}\right) e e^{-2x/3}.
  • Não há limites (é uma integral indefinida), então o resultado terá uma constante arbitrária de integração C.
  • Precisamos simplificar a parte com potências antes de integrar.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a parte algébrica usando a regra de potências
\text{se }a\neq0\text{ então }a^{m}/a^{n}=a^{m-n}.ã
Aplicando em cada termo da fração \dfrac{x-8x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{3}{4}}}:
  • Para o termo x/x^{3/4} temos os expoentes 1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}. Logo
\frac{x}{x^{3/4}}=x^{1-\frac{3}{4}}=x^{\frac{1}{4}}.
  • Para o termo \dfrac{8x^{2/3}}{x^{3/4}} usamos \tfrac{2}{3}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{8}{12}-\tfrac{9}{12}=-\tfrac{1}{12}. Logo
\frac{8x^{2/3}}{x^{3/4}}=8x^{-\frac{1}{12}}.
Portanto a integranda simplificada é
x^{\frac{1}{4}}-8x^{-\frac{1}{12}}+\sin\!\left(\frac{3x}{5}\right)+e^{-\frac{2x}{3}}.
Assim reescrevemos a integral como
\int \left(x^{\frac{1}{4}}-8x^{-\frac{1}{12}}+\sin\!\left(\frac{3x}{5}\right)+e^{-\frac{2x}{3}}\right)\,dx.

Passo 3

Vamos integrar os termos do tipo potência. Recordando a fórmula básica:
\int x^{k}\,dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C,\qquad \text{para }k\neq -1,
onde k é qualquer número real (nesse contexto). Aplicamos termo a termo:
  1. Para x^{\frac{1}{4}} temos k=\tfrac{1}{4}, então k+1=\tfrac{5}{4}. Logo
\int x^{\frac{1}{4}}\,dx=\frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}}=\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}.
  1. Para -8x^{-\frac{1}{12}} temos k=-\tfrac{1}{12}, então k+1=\tfrac{11}{12}. Assim
\int -8x^{-\frac{1}{12}}\,dx=-8\cdot\frac{x^{\frac{11}{12}}}{\frac{11}{12}}=-8\cdot\frac{12}{11}x^{\frac{11}{12}}=-\frac{96}{11}x^{\frac{11}{12}}.
Expliquei passo a passo porque é comum errar os sinais ou a divisão por frações; aqui multiplicamos por \tfrac{1}{k+1}, que no segundo caso é \tfrac{1}{11/12}=\tfrac{12}{11}.

Passo 4

Agora integramos \sin\!\left(\frac{3x}{5}\right). Há duas formas: lembrar a fórmula direta ou fazer substituição. Vou mostrar a substituição (didática):
Faça u=\frac{3x}{5}. Então du=\frac{3}{5}\,dx, ou seja dx=\frac{5}{3}\,du.
Substituindo:
\int \sin\!\left(\frac{3x}{5}\right)\,dx=\int \sin(u)\cdot\frac{5}{3}\,du=\frac{5}{3}\int \sin(u)\,du.
Sabemos que \int \sin(u)\,du=-\cos(u)+C. Portanto
\int \sin\!\left(\frac{3x}{5}\right)\,dx=-\frac{5}{3}\cos\!\left(\frac{3x}{5}\right).
Obs.: em geral \int \sin(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\cos(ax)+C; aqui a=\tfrac{3}{5}, então -1/a = -5/3.

Passo 5

Por último integramos e^{-\frac{2x}{3}}. De novo usamos substituição ou a fórmula \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C.
Tomando v=-\frac{2x}{3}, então dv=-\frac{2}{3}\,dx e dx=-\frac{3}{2}\,dv. Assim
\int e^{-\frac{2x}{3}}\,dx=\int e^{v}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\,dv=-\frac{3}{2}e^{v}+C=-\frac{3}{2}e^{-\frac{2x}{3}}+C.
Ou diretamente: aqui a=-\tfrac{2}{3}, então \frac{1}{a}=-\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Agora somamos todas as primitivas obtidas termo a termo. Juntando os resultados dos passos anteriores:
  • de x^{1/4} veio \dfrac{4}{5}x^{5/4},
  • de -8x^{-1/12} veio -\dfrac{96}{11}x^{11/12},
  • de \sin\!\left(\dfrac{3x}{5}\right) veio -\dfrac{5}{3}\cos\!\left(\dfrac{3x}{5}\right),
  • de e^{-2x/3} veio -\dfrac{3}{2}e^{-2x/3}.
Portanto a antiderivada é a soma dessas expressões mais a constante C.

Resposta

\frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}}-\frac{96}{11}x^{\frac{11}{12}}-\frac{5}{3}\cos\!\left(\frac{3x}{5}\right)-\frac{3}{2}e^{-\frac{2x}{3}}+C

Exercícios relacionados