Encontre o valor de para que sejam coplanares as seguintes retas:

Passo 1

O enunciado pede o valor de
sejam coplanares em (\mathbb{R}^3]. O conteúdo aqui é geometria vetorial: duas retas são coplanares se o produto misto entre o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta e os dois vetores diretores for zero.

Passo 2

Vamos parametrizar cada reta usando x como parâmetro:
  • Em r, seja t=x. Um ponto em r é
Pr=(0,,-3,,-1)
(quando t=0) e o vetor diretor é
v=(1,,m,,1)
  • Em s, seja u=x. Um ponto em s é
Ps=(0,,-m,,0)
(quando u=0) e o vetor diretor é
w=(1,,4,,1)

Passo 3

O vetor que liga Pr a Ps é
p=Ps-Pr=(0,,-m+3,,1)
O critério de coplanaridade exige
p,cdotl(vtimeswr)=0
Calculando o produto vetorial:
vtimesw = i&j&k 1&m&1 1&4&1 =(m-4),i+0,j+(4-m),k
Então o produto misto é
pcdot(vtimesw) =(0),(m-4)+(-m+3),(0)+(1),(4-m)=4-m

Passo 4

Impondo 4-m=0 obtemos
m=4

Resposta

4

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