(1 ponto) Determine se os vetores v1=(1,2,2), v2=(1,3,3) e v3=(1,5,5) formam uma base do R^3.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1=(1,2,2), v2=(1,3,3) e v3=(1,5,5), e pede para saber se eles formam uma base de R^3. Para isso basta verificar se eles são linearmente independentes, o que equivale a calcular o determinante da matriz que tem esses vetores como linhas (ou colunas).

Passo 2

Montamos a matriz cujas linhas são v1, v2, v3:
A = 1 & 2 & 2 1 & 3 & 3 1 & 5 & 5
Calculamos det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot(3cdot5 - 3cdot5) -2cdot(1cdot5 - 3cdot1) +2cdot(1cdot5 - 3cdot1) = 1cdot0 -2cdot2 +2cdot2 = 0

Passo 3

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. De fato, basta verificar que
-2, v1 + 3, v2 = -2,(1,2,2) + 3,(1,3,3) = (1,5,5) = v3

Resposta

Os vetores não formam base de R^3, pois são linearmente dependentes.

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