Encontre o valor de
nas seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o valor de
que satisfaz a equação
Informações dadas: o lado esquerdo é uma potência de base
e expoente
; o lado direito é a fração
. A única incógnita é
.
Passo 2
Estratégia escolhida: reescrever ambos os lados como potências de uma mesma base (se possível), porque aí podemos comparar diretamente os expoentes. Isso é uma técnica simples e direta quando os números envolvidos são potências de um mesmo número pequeno (aqui
e
são potências de
).
Passo 3
Reescrevendo
como potência de
. Observamos que
logo
Passo 4
Reescrevendo
como potência de
. Primeiro
é
A relação entre potência e recíproco é a regra do expoente negativo: para qualquer número
e inteiro
,
Aplicando isso,
Usando a regra
(que será aplicada no próximo passo), temos já que
Portanto
. (Exemplo rápido para fixar:
.)
Passo 5
Substituímos as reescritas na equação original:
Passo 6
Aplicamos a propriedade de potência de potência
. Assim
A equação fica
Passo 7
Agora usamos a propriedade de igualdade de potências com mesma base: se
e
,
, então
. Aqui a base
satisfaz essas condições, logo igualamos os expoentes:
Passo 8
Isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Verificação rápida (substituição): calcular
com
:
que é o lado direito da equação. A solução está correta.