Encontre o valor de x nas seguintes equações:
27^{x}=\frac{1}{9}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de x que satisfaz a equação
27^{x} = \frac{1}{9}.
Informações dadas: o lado esquerdo é uma potência de base 27 e expoente x; o lado direito é a fração \tfrac{1}{9}. A única incógnita é x.

Passo 2

Estratégia escolhida: reescrever ambos os lados como potências de uma mesma base (se possível), porque aí podemos comparar diretamente os expoentes. Isso é uma técnica simples e direta quando os números envolvidos são potências de um mesmo número pequeno (aqui 27 e 9 são potências de 3).

Passo 3

Reescrevendo 27 como potência de 3. Observamos que
3\cdot 3\cdot 3 = 27,
logo
27 = 3^{3}.

Passo 4

Reescrevendo \tfrac{1}{9} como potência de 3. Primeiro 9 é
9 = 3^{2}.
A relação entre potência e recíproco é a regra do expoente negativo: para qualquer número a\neq 0 e inteiro n,
a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}.
Aplicando isso,
\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^{2})^{-1}.
Usando a regra (a^{m})^{n} = a^{mn} (que será aplicada no próximo passo), temos já que
(3^{2})^{-1} = 3^{-2}.
Portanto \tfrac{1}{9} = 3^{-2}. (Exemplo rápido para fixar: 2^{-3} = 1/2^{3} = 1/8.)

Passo 5

Substituímos as reescritas na equação original:
(3^{3})^{x} = 3^{-2}.

Passo 6

Aplicamos a propriedade de potência de potência (a^{m})^{n} = a^{mn}. Assim
(3^{3})^{x} = 3^{3x}.
A equação fica
3^{3x} = 3^{-2}.

Passo 7

Agora usamos a propriedade de igualdade de potências com mesma base: se a^{u} = a^{v} e a>0, a\neq 1, então u=v. Aqui a base 3 satisfaz essas condições, logo igualamos os expoentes:
3x = -2.

Passo 8

Isolamos x dividindo ambos os lados por 3:
x = \frac{-2}{3}.

Passo 9

Verificação rápida (substituição): calcular 27^{x} com x=-\tfrac{2}{3}:
27^{-2/3} = (3^{3})^{-2/3} = 3^{3\cdot(-2/3)} = 3^{-2} = \frac{1}{9},
que é o lado direito da equação. A solução está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}

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