Encontre o valor de x nas seguintes equações:
(\sqrt[4]{3})^{x}=9

Passo 1

O enunciado dá a equação
(\sqrt[4]{3})^{x}=9
e pede para encontrar o valor de x. Informações relevantes: o radical \sqrt[4]{3} e o número 9 aparecem na equação; não há outras incógnitas nem parâmetros.

Passo 2

Vamos lembrar como transformar uma raiz em potência com expoente fracionário. A definição é: a quarta raiz de 3 é o número que, elevado a 4, dá 3. Em potência fracionária escrevemos isso como
\sqrt[4]{3}=3^{1/4}.
Exemplo rápido: \sqrt[3]{8}=2 porque 2^3=8; em expoente fracionário, \sqrt[3]{8}=8^{1/3}.

Passo 3

Usamos a propriedade de potências que diz que, para qualquer base a e expoentes m,n,
(a^{m})^{n}=a^{mn}.
Um exemplo concreto: (2^3)^4=2^{3\cdot4}=2^{12}. Aplicando isso ao nosso caso, com a=3, m=1/4 e n=x, obtemos
(\sqrt[4]{3})^{x}=(3^{1/4})^{x}=3^{x/4}.

Passo 4

Reescrevemos o outro lado da equação 9 como potência de 3. Como 9=3^2, a equação se transforma em
3^{x/4}=3^{2}.

Passo 5

Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1 (aqui a base é 3), a igualdade das potências implica igualdade dos expoentes. Assim,
\frac{x}{4}=2.
Agora resolvemos essa equação linear: multiplicando ambos os lados por 4,
x=8.

Passo 6

Verificação substituindo de volta: calculemos a esquerda com x=8:
(\sqrt[4]{3})^{8}=(3^{1/4})^{8}=3^{8/4}=3^{2}=9,
que é exatamente o lado direito. Portanto x=8 satisfaz a equação.

Resposta

x=8

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