Encontre os valores de b e c de modo que (2, b, c) times(1,-2,2))=(2,2,1).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede os valores de b e c tais que o produto vetorial
(2,b,c)times(1,-2,2) seja igual a (2,2,1). O conteúdo aqui é cálculo de produto vetorial em R^3 e vamos usar a definição por determinante de matriz 3times3.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
(2,b,c)times(1,-2,2) = i & j & k 2 & b & c 1 & -2 & 2

Passo 3

Expandindo pelo método de Sarrus ou co-fatores, cada componente fica:
(2,b,c)times(1,-2,2) = l(2b - c(-2),,-l(2cdot2 - ccdot1r),,2(-2) - bcdot1r) = (2b+2c,,-(4 - c),,-4 - b)
Como -(4 - c)=c-4, o resultado é
(2b + 2c,;c - 4,;-4 - b)

Passo 4

Agora igualamos componente a componente com (2,2,1) e montamos o sistema
2b + 2c = 2, c - 4 = 2, -4 - b = 1

Passo 5

Da segunda equação vem c = 6.
Da terceira equação vem b = -5.
Para conferir na primeira:
2(-5) + 2cdot6 = -10 + 12 = 2,
tudo certo.

Resposta

b = -5, c = 6.

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