No espaço R^3 com produto interno usual, utilize o processo de ortonormalização de GramSchmidt para obter uma base ortonormal partindo dos vetores u1=(1,1,1), u2=(1,2,1) e u3=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para, no espaço R^3 com o produto interno usual, aplicar o processo de Gram–Schmidt aos vetores
u1=(1,1,1), u2=(1,2,1) e u3=(0,0,1),
de modo a obter uma base ortonormal e1,e2,e3. Precisamos, em cada etapa, subtrair projeções sobre os vetores já ortonormais e depois normalizar.

Passo 2

Definimos primeiro
v1 = u1 = (1,1,1)
O comprimento de v1 é
|v1| = raiz1^2+1^2+1^2 = raiz3
Logo o primeiro vetor da base ortonormal é
e1 = v1|v1| = 1raiz3(1,1,1)

Passo 3

Para obter e2, projetamos u2 sobre e1 e subtraímos:
lang<= u2, e1rang<= = 1+2+1raiz3 = 4raiz3,
proje1(u2) = 4raiz3,e1 = 43(1,1,1)
Então
v2 = u2 - proje1(u2) = l(1,2,1r) - l(tfrac43,tfrac43,tfrac43r) = l(-tfrac13,tfrac23,-tfrac13r)
O comprimento de v2 é
|v2| = raizl(-tfrac13r)^2+l(tfrac23r)^2+l(-tfrac13r)^2 = raiztfrac69 = raiz63
Logo
e2 = v2|v2| = (-tfrac13,tfrac23,-tfrac13)tfracraiz63 = l(-tfrac1raiz6,,tfrac2raiz6,,-tfrac1raiz6r)

Passo 4

Agora projetamos u3 sobre e1 e e2:
lang<= u3,e1rang<= = 0+0+1raiz3 = 1raiz3, proje1(u3) = 13(1,1,1),
lang<= u3,e2rang<= = (0,0,1)cdotl(-tfrac1raiz6,tfrac2raiz6,-tfrac1raiz6r) = -1raiz6,
proje2(u3) = -1raiz6,e2 = l(tfrac16,-tfrac26,tfrac16r)
Subtraindo as duas projeções:
v3 = u3 - proje1(u3) - proje2(u3) = (0,0,1) - (tfrac13,tfrac13,tfrac13) - (tfrac16,-tfrac16,tfrac16) = l(-tfrac12,0,tfrac12r)
Seu comprimento é
|v3| = raizl(-tfrac12r)^2 + 0^2 + l(tfrac12r)^2 = 1raiz2,
portanto
e3 = v3|v3| = l(-tfrac12,0,tfrac12r)/tfrac1raiz2 = l(-tfracraiz22,,0,,tfracraiz22r)

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
e1 = 1raiz3(1,1,1), e2 = 1raiz6(-1,2,-1), e3 = 1raiz2(-1,0,1)

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