Encontre os valores de b e c de modo que (2, b, c) cdot((1,2,3) times(1,0,-1))=8.

Passo 1

O enunciado pede para determinar b e c de modo que o produto escalar
(2,b,c)cdotl((1,2,3)times(1,0,-1)r) valha 8.
O conteúdo é produto misto de vetores, que se resolve em duas etapas: primeiro o produto vetorial (1,2,3)times(1,0,-1) e depois o produto escalar com (2,b,c).

Passo 2

Para calcular o produto vetorial usamos a definição em coordenadas:
(a,b,c)times(d,e,f) = (bf - ce,; cd - af,; ae - bd).
Aplicando a (1,2,3)times(1,0,-1), obtém-se
(-2,4,-2)

Passo 3

Em seguida fazemos o produto escalar entre (2,b,c) e o vetor (-2,4,-2):
(2,b,c)cdot(-2,4,-2) =2cdot(-2)+bcdot 4 + ccdot(-2) =-4 + 4b - 2c

Passo 4

A condição do enunciado impõe
-4 + 4b - 2c = 8
Reorganizando,
4b - 2c = 12 Long<=ftrightarrow 2b - c = 6

Resposta

Todos os pares (b,c) que satisfazem
2b - c = 6,
isto é,
c = 2b - 6

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