No espaço P2(R) com produto interno dado por
lang<= u(t), v(t)rang<==integral-1^1 u(t) v(t) d t
utilize o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal partindo dos vetores u1=1, u2=t e u3=t^2.

Passo 1

O enunciado pede que apliquemos o processo de Gram–Schmidt no espaço P2(R) com produto interno
lang<= u,vrang<= = integral-1^1u(t)v(t),dt
aos vetores boldsymbol u1=1, boldsymbol u2=t e boldsymbol u3=t^2, de modo a obter uma base ortonormal.

Passo 2

Definimos boldsymbol v1=boldsymbol u1=1. Calculamos a norma:
|boldsymbol v1|^2=lang<=1,1rang<==integral-1^11cdot1,dt=2,
logo |boldsymbol v1|=raiz2. O primeiro vetor ortonormal é
boldsymbol e1=boldsymbol v1|boldsymbol v1| =1raiz2

Passo 3

Definimos
boldsymbol v2=boldsymbol u2-lang<= boldsymbol u2,boldsymbol e1rang<=,boldsymbol e1 =t-llang<= t,tfrac1raiz2rrang<=1raiz2
Mas
llang<= t,tfrac1raiz2rrang<= =1raiz2integral-1^1t,dt=0,
então boldsymbol v2=t. A norma é
|boldsymbol v2|^2 =integral-1^1t^2,dt=23,
logo |boldsymbol v2|=raiztfrac23. Assim
boldsymbol e2 =boldsymbol v2|boldsymbol v2| =raiz32;t

Passo 4

Definimos
boldsymbol v3 =boldsymbol u3 -lang<= boldsymbol u3,boldsymbol e1rang<=,boldsymbol e1 -lang<= boldsymbol u3,boldsymbol e2rang<=,boldsymbol e2 =t^2 -llang<= t^2,tfrac1raiz2rrang<=1raiz2 -llang<= t^2,raiztfrac32,trrang<=raiztfrac32,t
Calculamos
llang<= t^2,tfrac1raiz2rrang<= =1raiz2integral-1^1t^2,dt =23raiz2, llang<= t^2,raiztfrac32,trrang<= =raiztfrac32integral-1^1t^3,dt =0
Logo
boldsymbol v3 =t^2-23raiz2cdot1raiz2 =t^2-13
A norma ao quadrado é
|boldsymbol v3|^2 =integral-1^1l(t^2-tfrac13r)^2dt =845,
portanto |boldsymbol v3|=raiztfrac845. O terceiro vetor ortonormal é
boldsymbol e3 =boldsymbol v3|boldsymbol v3| =t^2-tfrac13raiztfrac845 =raiz104,(3t^2-1)

Resposta

A base ortonormal obtida é
l boldsymbol e1=1raiz2, boldsymbol e2=raiz32,t, boldsymbol e3=raiz104,(3t^2-1) r

Exercícios relacionados