(a) Se
e
, então
é ponto de mínimo local de
.
Passo 1
Vamos provar que se uma função f é duas vezes diferenciável em p, satisfaz f′§=0 e f′′§>0, então p é ponto de mínimo local.
Passo 2
Como f é duas vezes diferenciável em p, podemos usar o Teorema de Taylor com resto de Lagrange. Para todo h pequeno existe ξ entre p e p+h tal que:
Passo 3
Substituindo f′§=0 na expansão de Taylor obtemos:
Passo 4
Como f′′ é contínua e f′′§>0, para h suficientemente pequeno temos f’’(\xi)>0. Logo para todo h≠0 pequeno vale
ou seja f(p+h)>f§.
Passo 5
Isso mostra que em torno de p a função f assume valores maiores que f§, logo p é ponto de mínimo local de f.
Resposta
p é ponto de mínimo local de f