(a) Se f^prime(p)=0 e f^prime prime(p)>0, então p é ponto de mínimo local de f.

Passo 1

Vamos provar que se uma função f é duas vezes diferenciável em p, satisfaz f′§=0 e f′′§>0, então p é ponto de mínimo local.

Passo 2

Como f é duas vezes diferenciável em p, podemos usar o Teorema de Taylor com resto de Lagrange. Para todo h pequeno existe ξ entre p e p+h tal que:
f(p+h)=f(p)+f(p),h+tfrac12f''(xi),h^2

Passo 3

Substituindo f′§=0 na expansão de Taylor obtemos:
f(p+h)-f(p)=tfrac12f''(xi),h^2

Passo 4

Como f′′ é contínua e f′′§>0, para h suficientemente pequeno temos f’’(\xi)>0. Logo para todo h≠0 pequeno vale
f(p+h)-f(p)=tfrac12f''(xi),h^2>0,
ou seja f(p+h)>f§.

Passo 5

Isso mostra que em torno de p a função f assume valores maiores que f§, logo p é ponto de mínimo local de f.

Resposta

p é ponto de mínimo local de f

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