(i) Encontre os valores nos quais f é crescente ou decrescente. (ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais. (iii) Estude a função com relação à concavidade e pontos de inflexão.
f(x)=xx^2+3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função f(x)=tfracxx^2+3 em três aspectos: monotonicidade (cresce ou decresce), extremos locais (máximos e mínimos) e concavidade com pontos de inflexão. Vamos usar derivada primeira para (i) e (ii) e derivada segunda para (iii).

Passo 2

Começamos calculando a derivada primeira usando a regra do quociente. Seja N(x)=x e D(x)=x^2+3. Então
f'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 = 1cdot(x^2+3)-xcdot(2x)(x^2+3)^2 = 3-x^2(x^2+3)^2

Passo 3

Para estudar o sinal de f'(x) observamos que o denominador é sempre positivo. Logo o sinal vem de 3-x^2:
  • f'(x)>0 se 3-x^2>0, ou seja |x|. Assim f cresce em (-raiz3,raiz3).
  • f'(x)<0 se 3-x^2<0, ou seja |x|>raiz3. Assim f decresce em ( -infty,-raiz3)cup(raiz3,infty).

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é x=pmraiz3. Para ver o tipo de extremo:
  • Em x=-raiz3 temos mudança de decrescente para crescente → mínimo local. O valor é
f(-raiz3)=-raiz3(-raiz3)^2+3=-raiz36=-raiz36

Passo 5

  • Em x=raiz3 temos mudança de crescente para decrescente → máximo local. O valor é
f(raiz3)=raiz36=raiz36

Passo 6

Agora a derivada segunda. Partindo de f'(x)=tfrac3-x^2(x^2+3)^2, calculamos
f''(x)=ddxl(3-x^2(x^2+3)^2r)= -2x9-x^2(x^2+3)^3

Passo 7

Os zeros de f''(x) são em x=0 e x=pm3. O sinal de f''(x) (denominador sempre positivo) vem de -2x(9-x^2):
  • Em (-infty,-3): x< -3 9-x^2<0 → produto x(9-x^2)>0 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (-3,0): x<0 e 9-x^2>0 → produto x(9-x^2)<0 f''>0 (concavidade para cima).
  • Em (0,3): x>0 e 9-x^2>0 x(9-x^2)>0 f''<0 (concavidade para baixo).
  • Em (3,infty): x>3 9-x^2<0 x(9-x^2)<0 f''>0 (concavidade para cima).

Passo 8

Logo há pontos de inflexão em x=-3,0,3, com
f(-3)=-tfrac14, f(0)=0, f(3)=tfrac14

Resposta

(i) Cresce em (-√3, √3) e decresce em (-∞, -√3) ∪ (√3, ∞). (ii) Mínimo local em x=-√3 com f(-√3)=-√3/6; máximo local em x=√3 com f(√3)=√3/6. (iii) Concavidade para baixo em (-∞,-3) ∪ (0,3) e para cima em (-3,0) ∪ (3,∞); pontos de inflexão em x=-3, 0, 3.

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