(i) Encontre os valores nos quais
é crescente ou decrescente. (ii) Encontre os valores máximo e mínimo locais. (iii) Estude a função com relação à concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
em três aspectos: monotonicidade (cresce ou decresce), extremos locais (máximos e mínimos) e concavidade com pontos de inflexão. Vamos usar derivada primeira para (i) e (ii) e derivada segunda para (iii).
Passo 2
Começamos calculando a derivada primeira usando a regra do quociente. Seja
e
. Então
Passo 3
Para estudar o sinal de
observamos que o denominador é sempre positivo. Logo o sinal vem de
:
-
se , ou seja . Assim cresce em . -
se , ou seja . Assim decresce em .
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
, isto é
. Para ver o tipo de extremo:
- Em
temos mudança de decrescente para crescente → mínimo local. O valor é
Passo 5
- Em
temos mudança de crescente para decrescente → máximo local. O valor é
Passo 6
Agora a derivada segunda. Partindo de
, calculamos
Passo 7
Os zeros de
são em
e
. O sinal de
(denominador sempre positivo) vem de
:
- Em
: → → produto → (concavidade para baixo). - Em
: e → produto → (concavidade para cima). - Em
: e → → (concavidade para baixo). - Em
: → → → (concavidade para cima).
Passo 8
Logo há pontos de inflexão em
, com
Resposta
(i) Cresce em (-√3, √3) e decresce em (-∞, -√3) ∪ (√3, ∞). (ii) Mínimo local em x=-√3 com f(-√3)=-√3/6; máximo local em x=√3 com f(√3)=√3/6. (iii) Concavidade para baixo em (-∞,-3) ∪ (0,3) e para cima em (-3,0) ∪ (3,∞); pontos de inflexão em x=-3, 0, 3.