Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional
. Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas, interceptos e análise de sinal para construir o esboço.
Passo 2
Determinar o domínio e identificar assíntotas verticais. O denominador é zero se
ou
, ou seja, em
e
. Logo, o domínio é
e há assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Encontrar a assíntota horizontal. Como o grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (4), temos assíntota horizontal em
.
Passo 4
Calcular interceptos. Para o intercepto em
:
, logo o ponto
. Não há interceptos em
porque o numerador nunca se anula.
Passo 5
Analisar o sinal da função em cada intervalo definido pelas assíntotas. Em
, teste
: denomínio positivo e
. Em
, teste
: denomínio negativo e
. Em
, teste
: denomínio positivo e
.
Passo 6
Examinar o comportamento junto às assíntotas e no infinito.\n– Quando
, denomínio tende a zero positivo, então
.\n– Quando
, denomínio tende a zero negativo, então
.\n– Quando
, denomínio tende a zero negativo, logo
.\n– Quando
, denomínio tende a zero positivo, logo
.\n– Quando
,
trocando-se pela assíntota horizontal.
Passo 7
Desenhar mentalmente os ramos do gráfico: em
, vem de
e cresce até
; em
, sai de
, cruza em
, e vai a
em
; em
, sai de
em
e decai assintoticamente a
.
Resposta
O gráfico tem assíntotas verticais em
e
, assíntota horizontal em
, intercepto em
, sem raízes. O ramo à esquerda de
é positivo, cresce de
até
; o ramo entre
e
é negativo, cai de
até
; e o ramo à direita de
é positivo, decaindo de
para
.