Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=1(x-1)(x^3+1)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função racional f(x)=1(x-1)(x^3+1). Vamos usar conceitos de domínio, assíntotas, interceptos e análise de sinal para construir o esboço.

Passo 2

Determinar o domínio e identificar assíntotas verticais. O denominador é zero se x-1=0 ou x^3+1=0, ou seja, em x=1 e x=-1. Logo, o domínio é Rsetminus-1,1 e há assíntotas verticais em x=-1 e x=1.

Passo 3

Encontrar a assíntota horizontal. Como o grau do numerador (0) é menor que o grau do denominador (4), temos assíntota horizontal em y=0.

Passo 4

Calcular interceptos. Para o intercepto em y: f(0)=1/((-1)cdot1)=-1, logo o ponto (0,-1). Não há interceptos em x porque o numerador nunca se anula.

Passo 5

Analisar o sinal da função em cada intervalo definido pelas assíntotas. Em ( -infty,-1), teste x=-2: denomínio positivo e f(-2)>0. Em (-1,1), teste x=0: denomínio negativo e f(0)=-1<0. Em (1,infty), teste x=2: denomínio positivo e f(2)>0.

Passo 6

Examinar o comportamento junto às assíntotas e no infinito.\n– Quando xto-1^-, denomínio tende a zero positivo, então f(x)to+infty.\n– Quando xto-1^+, denomínio tende a zero negativo, então f(x)to-infty.\n– Quando xto1^-, denomínio tende a zero negativo, logo f(x)to-infty.\n– Quando xto1^+, denomínio tende a zero positivo, logo f(x)to+infty.\n– Quando xtopminfty, f(x)to0 trocando-se pela assíntota horizontal.

Passo 7

Desenhar mentalmente os ramos do gráfico: em ( -infty,-1), vem de 0^+ e cresce até +infty; em (-1,1), sai de +infty, cruza em (0,-1), e vai a -infty em xto1^-; em (1,infty), sai de +infty em xto1^+ e decai assintoticamente a 0^+.

Resposta

O gráfico tem assíntotas verticais em x=-1 e x=1, assíntota horizontal em y=0, intercepto em (0,-1), sem raízes. O ramo à esquerda de x=-1 é positivo, cresce de 0^+ até +infty; o ramo entre -1 e 1 é negativo, cai de -infty até -infty; e o ramo à direita de x=1 é positivo, decaindo de +infty para 0^+.

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