Verifique se as seguintes funções são contínuas:
a) f(x)=argsenh(2 x) b) f(x)=cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções f(x)= argsenh(2x) e f(x)= cos(2x) são contínuas. O conteúdo envolve continuidade de funções elementares e a propriedade de composição de funções contínuas.

Passo 2

Lembrando que uma função é contínua em um ponto se o limite quando x tende àquele ponto coincide com o valor da função. Além disso, funções elementares como a linear g(x)= 2x, a hiperbólica inversa argsenh(x) e a trigonométrica cos(x) são contínuas em todo o seu domínio. E vale a regra: se h e g são contínuas, então h∘g também é contínua.

Passo 3

Para a função f(x)=argsenh(2x): primeiro, g(x)=2x é contínua em todo R. Depois, h(y)=argsenh(y) é contínua em todo R (domínio de argsenh). Logo, a composição h(g(x))=argsenh(2x) é contínua para todo xinR.

Passo 4

Para a função f(x)=cos(2x): sabemos que g(x)=2x é contínua em todo R e h(y)=cos(y) também é contínua em todo R. Portanto, a composição h(g(x))=cos(2x) é contínua para todo xinR.

Resposta

As duas funções são contínuas para todo xinR.

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