Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação difencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. O exercício pede para usarmos o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução $ y_{2}(x) $ da equação homogênea dada:
Depois, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea e, por fim, a solução geral da equação diferencial. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar a segunda solução $ y_{2}(x) $ da equação homogênea usando o método de redução de ordem. Sabemos que já temos uma solução $ y_{1} = e^{x} $.
O método de redução de ordem é útil quando já conhecemos uma solução de uma equação diferencial linear de segunda ordem, e queremos encontrar outra solução linearmente independente.
A fórmula geral para a segunda solução $ y_{2}(x) $ quando já temos $ y_{1}(x) $ é:
Onde $ P(x) $ é o coeficiente de $ y’ $ na equação diferencial padrão $ y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0 $.
Passo 3
Vamos reescrever a equação dada na forma padrão. A equação original é:
Dividindo todos os termos por $ x $ (já que $ x > 0 $) para deixar a equação na forma padrão:
Então, identificamos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula do método de redução de ordem. Primeiro, calculamos $ \int P(x) dx $:
Como estamos lidando com integrais indefinidas, podemos ignorar a constante de integração $ C $ por enquanto.
Então, $ e^{ - \int P(x) dx} = e^{ - (\ln x - 2x)} = e^{- \ln x} \cdot e^{2x} = \frac{e^{2x}}{x} $
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula para $ y_{2}(x) $:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar a constante $ C $.
Passo 6
Pronto, encontramos a segunda solução da equação homogênea:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação não homogênea. No entanto, o enunciado não forneceu a forma específica da equação não homogênea (isto é, o termo do lado direito). Supondo que a equação não homogênea seja da forma:
Sem a informação de $ g(x) $, não podemos determinar a solução particular específica. Para fins de ilustração, vamos supor que $ g(x) $ seja uma função simples, como $ g(x) = e^{x} $.
Usando o método da variação de parâmetros, a solução particular $ y_p(x) $ pode ser encontrada combinando $ y_{1}(x) $ e $ y_{2}(x) $. A fórmula geral é:
Onde $ u_{1}(x) $ e $ u_{2}(x) $ são funções a serem determinadas.
Passo 8
Para simplificar, assumindo $ g(x) = e^{x} $, a solução geral da equação não homogênea será a soma da solução da homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias, e $ y_p(x) $ é a solução particular da equação não homogênea.