Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=e^t, y=t e^-t

Passo 1

O enunciado define uma curva paramétrica em t por
x = e^t, y = t e^-t,
e pede para encontrar primeiro dydx, depois d^2ydx^2, e determinar para quais valores de t a curva é côncava para cima. Vamos usar as fórmulas de derivadas em funções paramétricas.

Passo 2

Calcular dxdt e dydt:
dxdt = e^t, dydt = ddtl(t e^-tr) = e^-t - t e^-t = e^-t(1 - t)
Então
dydx = dydtdxdt = e^-t(1 - t)e^t = (1 - t)e^-2t

Passo 3

Para o segundo coeficiente, usamos
d^2ydx^2 = ddt!l(dydxr)dxdt
Primeiro
ddtl((1 - t)e^-2tr) = -,e^-2t -2(1 - t)e^-2t = -,(3 - 2t)e^-2t
Logo
d^2ydx^2 = -,(3 - 2t)e^-2te^t = -(3 - 2t)e^-3t = (2t - 3)e^-3t

Passo 4

A concavidade para cima ocorre quando d^2ydx^2>0. Como e^-3t>0 sempre, basta
2t - 3 > 0 Longrightarrow t > tfrac32

Resposta

dydx=(1 - t)e^-2t,
d^2ydx^2=(2t - 3)e^-3t,
a curva é côncava para cima para t>tfrac32.

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