Calcule as derivadas direcionais das funções a seguir nas direções indicadas:
Para f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2+x y z, no ponto ( 1,1,1 ), na direção da tangente da curva descrita por x=t, y=t^2, z=t^3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+xyz
no ponto (1,1,1) na direção da tangente à curva dada por
x=t, y=t^2, z=t^3
O conteúdo usado será o gradiente de f e o vetor tangente da curva, normalizado para obter o versor de direção.

Passo 2

Para achar a direção, primeiro vemos que o ponto (1,1,1) está na curva se tomarmos t=1, pois 1=(1)^2=(1)^3. A parametrização é
r(t)=(t,;t^2,;t^3),
logo o vetor tangente é
r'(t)=(1,;2t,;3t^2)
Em t=1 temos
r'(1)=(1,,2,,3)

Passo 3

A derivada direcional requer o gradiente de f. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x+yz, partial fpartial y=2y+xz, partial fpartial z=2z+xy
Em forma de vetor,
nabla f(x,y,z)=l(2x+yz,;2y+xz,;2z+xyr)

Passo 4

Avaliaremos o gradiente em (1,1,1):
nabla f(1,1,1)=(2cdot1+1cdot1,;2cdot1+1cdot1,;2cdot1+1cdot1)=(3,,3,,3)

Passo 5

O vetor tangente em (1,1,1) é r'(1)=(1,2,3). Para usar na derivada direcional, precisamos do versor
u= r'(1)| r'(1)|=(1,2,3)raiz1^2+2^2+3^2=(1,2,3)raiz14

Passo 6

A derivada direcional de f na direção de u é o produto escalar
D uf(1,1,1)=nabla f(1,1,1)cdot u =(3,3,3)cdot(1,2,3)raiz14 =3cdot1+3cdot2+3cdot3raiz14 =18raiz14

Resposta

18raiz14

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