Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=t^3+1, y=t^2-t

Passo 1

Nesse exercício temos a curva dada pelos parâmetros x = t³ + 1 e y = t² – t. O conteúdo é derivadas de funções paramétricas e concavidade. Vamos usar as fórmulas dydx=dy/dtdx/dt e d^2ydx^2=ddt(dy/dx)/ (dx/dt).

Passo 2

Calcular as derivadas de x e y em relação a t. Derivando, obtemos
dxdt=3t^2
e
dydt=2t-1.

Passo 3

Aplicar a fórmula da derivada primeira. Logo,
dydx=2t-13t^2

Passo 4

Agora vamos achar o segundo derivado. Primeiro calculamos a derivada de dy/dx em relação a t:
ddtl(2t-13t^2r)=2(1-t)3t^3
Em seguida dividimos por dx/dt=3t^2, resultando em
d^2ydx^2=2(1-t)9t^5

Passo 5

Para ver onde a curva é côncava para cima, analisamos a desigualdade
d^2ydx^2>0Longrightarrow2(1-t)9t^5>0
Como 2 e 9 são positivos, restou verificar (1-t)/t^5>0. Isso só ocorre quando t>0 e 1–t>0, ou seja t está entre 0 e 1.

Resposta

dydx=2t-13t^2, d^2ydx^2=2(1-t)9t^5, e a curva é côncava para cima para tin(0,1).

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