Encontre
e
. Para quais valores de
a curva é côncava para cima?
Passo 1
Nesse exercício temos a curva dada pelos parâmetros x = t³ + 1 e y = t² – t. O conteúdo é derivadas de funções paramétricas e concavidade. Vamos usar as fórmulas
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas de x e y em relação a t. Derivando, obtemos
e
.
e
Passo 3
Aplicar a fórmula da derivada primeira. Logo,
Passo 4
Agora vamos achar o segundo derivado. Primeiro calculamos a derivada de
em relação a t:
Em seguida dividimos por
, resultando em
Passo 5
Para ver onde a curva é côncava para cima, analisamos a desigualdade
Como 2 e 9 são positivos, restou verificar
. Isso só ocorre quando t>0 e 1–t>0, ou seja t está entre 0 e 1.