Exercício 5. Calcule o gradiente da função
no ponto dado:
, ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) = \ln \left(y^{2} - x z\right) $ no ponto
. O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá informações sobre como a função muda em diferentes direções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis, como no nosso caso, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular
. A função é $ f(x, y, z) = \ln \left(y^{2} - x z\right) $.
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Mantendo $ x $ e $ z $ constantes, derivamos:
Passo 5
Por último, calculamos
:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto
:
-
em :
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em :
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em :
Resposta
O gradiente da função no ponto
é: