Exercício 5. Calcule o gradiente da função (nabla f) no ponto dado:
f(x, y, z)=ln (y^2-x z), ponto (0,2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função $ f(x, y, z) = \ln \left(y^{2} - x z\right) $ no ponto f(x, y, z) = ln (y^2 - x z) . O gradiente é uma ferramenta da matemática que nos dá informações sobre como a função muda em diferentes direções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis, como no nosso caso, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Então, nosso objetivo é encontrar cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular partial fpartial x. A função é $ f(x, y, z) = \ln \left(y^{2} - x z\right) $.
Para derivar em relação a $ x $, tratamos $ y $ e $ z $ como constantes. Usamos a regra da cadeia:
f(x, y, z) = ln (y^2 - x z)

Passo 4

Agora, vamos calcular partial fpartial y. Mantendo $ x $ e $ z $ constantes, derivamos:
x

Passo 5

Por último, calculamos partial fpartial z:
partial fpartial z = 1y^2 - x z cdot partialpartial z(y^2 - x z) = 1y^2 - x z cdot (-x) = -xy^2 - x z

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos avaliar cada uma delas no ponto (0, 2, 2):
  1. partial fpartial x em (0, 2, 2):
-zy^2 - x z = -22^2 - 0 cdot 2 = -24 = -0,5
  1. partial fpartial y em (0, 2, 2):
2yy^2 - x z = 2 cdot 22^2 - 0 cdot 2 = 44 = 1
  1. partial fpartial z em (0, 2, 2):
-xy^2 - x z = -02^2 - 0 cdot 2 = 04 = 0

Resposta

O gradiente da função no ponto (0, 2, 2) é:
nabla f(0, 2, 2) = (-0,5, 1, 0)

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