Exercício 5. Calcule o gradiente da função (nabla f) no ponto dado:
f(x, y, z)=x^2 y2+y^2 e^z2, ponto (1,1,0)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de uma função de três variáveis no ponto dado. O conteúdo é derivada parcial e construção do vetor gradiente a partir das derivadas parciais. A função é f(x,y,z)=x^2y2+y^2e^z2 e vamos usar regras de derivada de produto e a regra da cadeia para exponencial.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. Na parte x^2y2, derivando x^2 2x, e multiplicando por y/2 obtemos x,y. A segunda parcela não depende de x, logo
partial fpartial x=x,y

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. Na parte x^2y2, a derivada em relação a y é x^22. Na parte y^2e^z2, derivando y^2 obtemos 2y e multiplicando por e^z/2 y,e^z. Então
partial fpartial y=x^22+y,e^z

Passo 4

Para calcular partial fpartial z, tratamos x e y como constantes. A primeira parcela não depende de z. Na segunda, derivando e^z e^z, multiplicado por y^2/2, fica
partial fpartial z=y^2e^z2

Passo 5

Agora substituímos o ponto (1,1,0). Temos:
partial fpartial x(1,1,0)=1cdot1=1,
partial fpartial y(1,1,0)=1^22+1cdot e^0=12+1=32,
partial fpartial z(1,1,0)=1^2e^02=12

Resposta

O gradiente em (1,1,0) é nabla f(1,1,0)=(1,tfrac32,tfrac12).

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