Exercício 5. Calcule o gradiente da função
no ponto dado:
, ponto
Passo 1
O enunciado pede o gradiente de uma função de três variáveis no ponto dado. O conteúdo é derivada parcial e construção do vetor gradiente a partir das derivadas parciais. A função é
e vamos usar regras de derivada de produto e a regra da cadeia para exponencial.
Passo 2
Para calcular
, tratamos
e
como constantes. Na parte
, derivando
dá
, e multiplicando por
obtemos
. A segunda parcela não depende de
, logo
Passo 3
Para calcular
, tratamos
e
como constantes. Na parte
, a derivada em relação a
é
. Na parte
, derivando
obtemos
e multiplicando por
dá
. Então
Passo 4
Para calcular
, tratamos
e
como constantes. A primeira parcela não depende de
. Na segunda, derivando
dá
, multiplicado por
, fica
Passo 5
Agora substituímos o ponto
. Temos:
Resposta
O gradiente em
é
.