Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se
for injetora, então
.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
Informações dadas:
- Hipótese:
é injetora (isto é, se então ). - Afirmação: interpreta-se
como a função inversa de e a iguala ao recíproco multiplicativo dos valores de , isto é, ao valor .
Passo 2
Explicação do que significa
(inversa de função), passo a passo:
- Se
tem inversa , então por definição ela satisfaz
e também
- Nem toda função injetora tem inversa definida sobre todo o conjunto codomínio; injetividade garante apenas que existe uma inversa definida da imagem de
para o domínio (para existir inversa como função do codomínio inteiro é preciso que seja bijetora). O ponto importante: é a função que “desfaz” .
Passo 3
Explicação do que significa
(recíproco ou inverso multiplicativo do valor):
- Para cada
do domínio, é o número que multiplicado por dá . Em notação, , desde que . - Atenção à notação:
geralmente indica a inversa da função, enquanto ou indica o recíproco do número . São conceitos diferentes!
Passo 4
Mostrando que a afirmação é falsa com um contraexemplo simples (passo a passo, como na prova):
- Considere
dada por
- Verifique injetividade: se
então e, dividindo por , obtemos . Logo é injetora. - Calcule a inversa
: para temos . Então
(atenção: aqui trocamos o papel da variável para expressar a função inversa em função de
.)
- Calcule o recíproco
:
- Compare
e :
Essas duas expressões não são iguais em geral. Por exemplo, para
,
Como
, a igualdade proposta falha para este caso.
Passo 5
Observações finais para entender por que a confusão é comum e como evitar:
- A notação
como inversa de função é diferente de escrever para o recíproco do valor. Confundir os dois é erro de notação/conceito. - Mesmo que
seja bijetora (logo tenha inversa definida em todo o codomínio), isso não implica que . A igualdade só ocorreria em casos muito especiais e não é uma propriedade geral de funções injetoras. - Além disso,
só faz sentido quando ; já é definida segundo a invertibilidade da função, com outras condições.
Resposta
F