Determine se a afirmação é verdadeira ( V ) ou falsa (F). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
( ) Se f for injetora, então f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justificar:
\text{Se } f \text{ for injetora, então } f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}.ã
Informações dadas:
  • Hipótese: f é injetora (isto é, se f(a)=f(b) então a=b).
  • Afirmação: interpreta-se f^{-1} como a função inversa de f e a iguala ao recíproco multiplicativo dos valores de f, isto é, ao valor \dfrac{1}{f(x)}.

Passo 2

Explicação do que significa f^{-1} (inversa de função), passo a passo:
  • Se f tem inversa f^{-1}, então por definição ela satisfaz
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y\quad\text{para todo }y\text{ no conjunto-imagem de }f,
e também
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x\quad\text{para todo }x\text{ no domínio de }f.í
  • Nem toda função injetora tem inversa definida sobre todo o conjunto codomínio; injetividade garante apenas que existe uma inversa definida da imagem de f para o domínio (para existir inversa como função do codomínio inteiro é preciso que f seja bijetora). O ponto importante: f^{-1} é a função que “desfaz” f.

Passo 3

Explicação do que significa \dfrac{1}{f(x)} (recíproco ou inverso multiplicativo do valor):
  • Para cada x do domínio, \dfrac{1}{f(x)} é o número que multiplicado por f(x) 1. Em notação, (f(x))^{-1}=\dfrac{1}{f(x)}, desde que f(x)\neq 0.
  • Atenção à notação: f^{-1}(x) geralmente indica a inversa da função, enquanto (f(x))^{-1} ou \dfrac{1}{f(x)} indica o recíproco do número f(x). São conceitos diferentes!

Passo 4

Mostrando que a afirmação é falsa com um contraexemplo simples (passo a passo, como na prova):
  • Considere f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por
f(x)=2x.
  • Verifique injetividade: se f(a)=f(b) então 2a=2b e, dividindo por 2, obtemos a=b. Logo f é injetora.
  • Calcule a inversa f^{-1}: para y=f(x)=2x temos x=\dfrac{y}{2}. Então
f^{-1}(x)=\frac{x}{2}.
(atenção: aqui trocamos o papel da variável para expressar a função inversa em função de x.)
  • Calcule o recíproco \dfrac{1}{f(x)}:
\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2x}.
  • Compare f^{-1}(x) e \dfrac{1}{f(x)}:
f^{-1}(x)=\frac{x}{2}\qquad\text{e}\qquad\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2x}.
Essas duas expressões não são iguais em geral. Por exemplo, para x=4,
f^{-1}(4)=\frac{4}{2}=2,\qquad \frac{1}{f(4)}=\frac{1}{8}.
Como 2\neq\frac{1}{8}, a igualdade proposta falha para este caso.

Passo 5

Observações finais para entender por que a confusão é comum e como evitar:
  • A notação f^{-1} como inversa de função é diferente de escrever (f(x))^{-1} para o recíproco do valor. Confundir os dois é erro de notação/conceito.
  • Mesmo que f seja bijetora (logo tenha inversa definida em todo o codomínio), isso não implica que f^{-1}(x)=\dfrac{1}{f(x)}. A igualdade só ocorreria em casos muito especiais e não é uma propriedade geral de funções injetoras.
  • Além disso, \dfrac{1}{f(x)} só faz sentido quando f(x)\neq 0; já f^{-1}(x) é definida segundo a invertibilidade da função, com outras condições.

Resposta

F

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