Calcule: , onde é o sólido limitado pelo parabolóide e pelo plano .
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral triplo
em que é o sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
O conteúdo usado será: determinação da projeção de no plano , troca da ordem de integração em coordenadas cilíndricas (no plano ) e cálculo de integrais simples.
Passo 2
Para cada ponto no plano, varia de
até
A projeção de no plano é o disco
pois exigimos . Assim
Passo 3
Calcule a integral interna em :
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integral triplaWx,dx,dy,dz =integral duplaD8l(1-(y^2+z^2)^2r),dAyz
Passo 4
Passe a coordenadas polares no plano yz:
y = rcostheta, z = rsintheta, dAyz=r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. O integrando fica
8l(1-r^4r),r,
então
integral triplaWx,dV = integral0^2pi!!integral0^18(1-r^4),r,dr,dtheta