1. Calcule: integral duplaW x d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelo parabolóide x= 4 z^2+4 y^2 e pelo plano x=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral triplo
integral triplaW x ,dx,dy,dz
em que W é o sólido limitado pelo parabolóide
x = 4z^2 + 4y^2
e pelo plano
x = 4
O conteúdo usado será: determinação da projeção de W no plano yz, troca da ordem de integração em coordenadas cilíndricas (no plano yz) e cálculo de integrais simples.

Passo 2

Para cada ponto (y,z) no plano, x varia de
x = 4(y^2+z^2)
até
x = 4
A projeção de W no plano yz é o disco
D=(y,z)mid y^2+z^2<=1,
pois exigimos 4(y^2+z^2)<=4iff y^2+z^2<=1. Assim
integral triplaW x,dx,dy,dz =integral duplaDl(integralx=4(y^2+z^2)^4x,dxr),dAyz

Passo 3

Calcule a integral interna em x:
integral4(y^2+z^2)^4x,dx =x^22|x=4(y^2+z^2)^4 =16-(4(y^2+z^2))^22 =16-16(y^2+z^2)^22 =8l(1-(y^2+z^2)^2r)
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integral triplaWx,dx,dy,dz =integral duplaD8l(1-(y^2+z^2)^2r),dAyz

Passo 4

Passe a coordenadas polares no plano yz:
y = rcostheta, z = rsintheta, dAyz=r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. O integrando fica
8l(1-r^4r),r,
então
integral triplaWx,dV = integral0^2pi!!integral0^18(1-r^4),r,dr,dtheta

Passo 5

Calcule a integral em r e theta:
integral0^1(1-r^4),r,dr =integral0^1(r-r^5),dr =l[r^22-r^66r]0^1 =12-16 =13
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integral triplaWx,dV =8cdotintegral0^2pidtheta;times;13 =8cdot2picdot13 =16pi3

Resposta

16pi3

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