Resolva o problema de valor inicial
para uma função
arbitrária.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação de valor inicial
onde
é uma função arbitrária (não especificada). As informações relevantes que temos são:
A tarefa é encontrar a solução geral
que satisfaça a equação e as condições iniciais, expressa de forma válida para qualquer
.
Passo 2
Primeiro resolvemos a parte homogênea associada:
Formamos o polinômio característico
Calculamos as raízes: reconhecemos que
logo há uma raiz real dupla
. Quando a raiz
é dupla, a forma geral das soluções da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando por que: para uma raiz simples
temos
; para raiz dupla precisamos multiplicar por
a segunda solução para obter independência linear, daí
e
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação completa com termo forçante
. Como
é arbitrária, o método prático e elegante é usar a representação por convolução com a resposta ao impulso (função de Green) do operador diferencial. Em termos simples: existe uma função
tal que, para condições iniciais nulas, a solução recebe a forma
Para encontrar
podemos usar a transformada de Laplace (apenas como ferramenta para obter
): aplicando Laplace à equação com condições iniciais nulas (isso dá a função resposta ao impulso), obtemos
Assim a função de transferência é
. Precisamos da transformada inversa de
para obter
.
Passo 4
Conhecemos a transformada básica:
Portanto a resposta ao impulso é
Isto pode ser verificado diferenciando a transformada ou lembrando a regra de que
(aqui
). Assim a solução particular é a convolução com
:
Interpretação: cada valor passado
contribui para
com peso
.
Passo 5
A solução geral da equação (para
) é a soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Avaliamo
. Note que a integral convolucional com limite superior
vale zero, porque o intervalo de integração é nulo. Assim
Como
, obtemos
Passo 7
Precisamos de
para usar
. Diferenciamos a expressão de
. Primeiro a derivada da parte homogênea:
Agora a derivada da integral convolucional. Aplicando a regra de Leibniz (derivada de uma integral com parâmetro):
(A parcela do termo de limite superior é zero porque
.) Calculando a derivada dentro:
Em particular, ao avaliar em
a integral tem intervalo nulo, então
Portanto
Como
e
, segue
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais para qualquer
:
Essa é a forma final; a integral representa a resposta forçada pelo
e, se
for conhecida explicitamente, a integral pode ser calculada (analiticamente ou numericamente).