Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=f(t), \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-3,
para uma função f(t) arbitrária.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação de valor inicial
y''+4y'+4y=f(t),\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-3,
onde f(t) é uma função arbitrária (não especificada). As informações relevantes que temos são:
\text{(i) } \text{equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes};çã
\text{(ii) } \text{condições iniciais } y(0)=2 \text{ e } y'(0)=-3;çõ
\text{(iii) } f(t) \text{ é força externa arbitrária, portanto a solução deve ser escrita em termos de } f.éçáçã
A tarefa é encontrar a solução geral y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais, expressa de forma válida para qualquer f(t).

Passo 2

Primeiro resolvemos a parte homogênea associada:
y''+4y'+4y=0.
Formamos o polinômio característico
r^2+4r+4=0.
Calculamos as raízes: reconhecemos que
r^2+4r+4=(r+2)^2,
logo há uma raiz real dupla r=-2. Quando a raiz -2 é dupla, a forma geral das soluções da homogênea é
y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Explicando por que: para uma raiz simples r temos e^{rt}; para raiz dupla precisamos multiplicar por t a segunda solução para obter independência linear, daí e^{-2t} e t e^{-2t}.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) para a equação completa com termo forçante f(t). Como f(t) é arbitrária, o método prático e elegante é usar a representação por convolução com a resposta ao impulso (função de Green) do operador diferencial. Em termos simples: existe uma função g(t) tal que, para condições iniciais nulas, a solução recebe a forma
y_p(t)=(g*f)(t)=\int_0^t g(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.
Para encontrar g podemos usar a transformada de Laplace (apenas como ferramenta para obter g): aplicando Laplace à equação com condições iniciais nulas (isso dá a função resposta ao impulso), obtemos
Y(s)\big(s^2+4s+4\big)=F(s)\quad\Rightarrow\quad Y(s)=\frac{F(s)}{(s+2)^2}.
Assim a função de transferência é G(s)=\dfrac{1}{(s+2)^2}. Precisamos da transformada inversa de G(s) para obter g(t).

Passo 4

Conhecemos a transformada básica:
\mathcal{L}\{t e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{(s+2)^2}.
Portanto a resposta ao impulso é
g(t)=t e^{-2t}\quad\text{(para }t\ge0\text{)}.
Isto pode ser verificado diferenciando a transformada ou lembrando a regra de que \mathcal{L}\{t e^{at}\} = 1/(s-a)^2 (aqui a=-2). Assim a solução particular é a convolução com g:
y_p(t)=\int_0^t (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.
Interpretação: cada valor passado f(\tau) contribui para y(t) com peso (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}.

Passo 5

A solução geral da equação (para t\ge0) é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t}+\int_0^t (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.

Passo 6

Avaliamo y(0). Note que a integral convolucional com limite superior t=0 vale zero, porque o intervalo de integração é nulo. Assim
y(0)= (C_1+C_2\cdot 0)e^{0} + 0 = C_1.
Como y(0)=2, obtemos
C_1=2.

Passo 7

Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=-3. Diferenciamos a expressão de y(t). Primeiro a derivada da parte homogênea:
y_h(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t},
y_h'(t)=\big(C_2\big)e^{-2t} + (C_1+C_2 t)(-2)e^{-2t} = \big(C_2-2C_1-2C_2 t\big)e^{-2t}.
Agora a derivada da integral convolucional. Aplicando a regra de Leibniz (derivada de uma integral com parâmetro):
y_p(t)=\int_0^t (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau,
y_p'(t)=\int_0^t \frac{\partial}{\partial t}\big[(t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\big] f(\tau)\,d\tau.
(A parcela do termo de limite superior é zero porque (t-t)e^{-2(t-t)}f(t)=0.) Calculando a derivada dentro:
\frac{\partial}{\partial t}\big[(t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\big]=\big(1-2(t-\tau)\big)e^{-2(t-\tau)}.
Em particular, ao avaliar em t=0 a integral tem intervalo nulo, então
y_p'(0)=0.
Portanto
y'(0)=y_h'(0)+y_p'(0)=\big(C_2-2C_1\big).
Como y'(0)=-3 e C_1=2, segue
C_2-2\cdot 2=-3\quad\Rightarrow\quad C_2-4=-3\quad\Rightarrow\quad C_2=1.

Passo 8

Substituindo C_1=2 e C_2=1 na solução geral, obtemos a solução que satisfaz as condições iniciais para qualquer f(t):
y(t)=(2+t)e^{-2t}+\int_0^t (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.
Essa é a forma final; a integral representa a resposta forçada pelo f(t) e, se f for conhecida explicitamente, a integral pode ser calculada (analiticamente ou numericamente).

Resposta

y(t)=(2+t)e^{-2t}+\int_0^t (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau

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