Seja
uma constante. Seja
. Mostre que
(Sugestăo: derive uma vez e use as transformadas de Laplace de
e de
.) Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas. Listei-as claramente:
-
Dados:e o problema de valor inicial
-
Perguntas:
- Mostrar que a transformada de Laplace de
é - Resolver o problema de valor inicial dado.
- Mostrar que a transformada de Laplace de
Não vou resolver nada ainda; nos próximos passos eu desenvolvo cada peça com calma e passo a passo.]
Passo 2
Propriedades de Laplace que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
-
Definição da transformada de Laplace: para função
,quando a integral converge. -
Regra da derivada no tempo: se
e é suficientemente regular, entãoExplico: multiplicar por e subtrair o valor inicial é o efeito da derivada no domínio de . -
Propriedade
: se , entãoOu seja, multiplicar por em -espaço corresponde a derivar com sinal negativo em -espaço. -
Transformadas elementares:
Vou usar tudo isso para encontrar
.
Passo 3
Calcule a transformada de
.
-
Primeiro calcule
. Derivando pelo produto temosObservação: porque em anula o produto. -
Aplique a transformada de Laplace à igualdade
. Pela linearidade: -
Use a regra da derivada no tempo para
: como , -
Substitua as transformadas conhecidas:
-
Calcule
usando a propriedade . Com e ,Agora derive:então -
Substitua esse resultado em (4):
-
Coloque sobre denominador comum
: -
Divida por
(lembrando que queremos , então na região de interesse):
Isto prova a fórmula pedida.
Passo 4
Agora resolvemos o problema de valor inicial usando transformada de Laplace.
-
Denotemos
. Aplique a transformada à equação -
Use as fórmulas de transformada das derivadas:
e
.
-
Transforme o lado esquerdo:
-
Transforme o lado direito. Use o teorema do deslocamento:
-
Igualando as transformadas:
-
Isolando
:Observação: escrevi para simplificar.
Passo 5
Vamos tomar a antitransformada termo a termo. Denote
.
- Primeiro termo:
. Separe: Inversas conhecidas:
Portanto a antitransformada do primeiro termo é
Passo 6
Agora o segundo termo:
.
Precisamos da transformada inversa de
. Vou achar e justificar uma fórmula útil.
Considere a função
Calcule a transformada de
:
Assim
onde
. Portanto
Logo, a inversa desejada é
Passo 7
Aplique a fórmula ao nosso caso:
,
. Assim
Multiplicando por
(porque o termo é
), obtemos
Passo 8
Some as duas partes (Passo 5 e Passo 7). A solução
é
Fatorando
e combinando os termos em
e
:
- Coeficiente de
: do primeiro termo e do último (pois ). - Coeficiente de
: .
Portanto uma forma mais compacta:
Verificação rápida dos dados iniciais: em
obtemos
. Derivando e avaliando em
dá
(pode checar se quiser); portanto as condições iniciais são satisfeitas.