Seja a uma constante. Seja f(t)=t \cos a t. Mostre que
F(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{\left(s^{2}+a^{2}\right)^{2}}, \quad s>0
(Sugestăo: derive uma vez e use as transformadas de Laplace de \cos a t e de t \operatorname{sen} a t.) Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=e^{-2 t} \operatorname{sen} 3 t \\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas. Listei-as claramente:
  • Dados:
    f(t)=t\cos at,\quad a\\ \text{constante},
    e o problema de valor inicial
    \begin{cases} y''+4y'+13y=e^{-2t}\sin 3t,\\[4pt] y(0)=1,\\ y'(0)=2. \end{cases}
  • Perguntas:
    1. Mostrar que a transformada de Laplace de f(t)=t\cos at é F(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\qquad s>0.
    2. Resolver o problema de valor inicial dado.
Não vou resolver nada ainda; nos próximos passos eu desenvolvo cada peça com calma e passo a passo.]

Passo 2

Propriedades de Laplace que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
  • Definição da transformada de Laplace: para função g(t),
    \mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt,
    quando a integral converge.
  • Regra da derivada no tempo: se G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) e g é suficientemente regular, então
    \mathcal{L}\{g'(t)\}(s)=sG(s)-g(0).
    Explico: multiplicar por s e subtrair o valor inicial é o efeito da derivada no domínio de t.
  • Propriedade t\cdot g(t): se G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s), então
    \mathcal{L}\{t\,g(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}G(s).
    Ou seja, multiplicar por t em t-espaço corresponde a derivar com sinal negativo em s-espaço.
  • Transformadas elementares:
    \mathcal{L}\{\cos at\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin at\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Vou usar tudo isso para encontrar \mathcal{L}\{t\cos at\}.

Passo 3

Calcule a transformada de f(t)=t\cos at.
  1. Primeiro calcule f'(t). Derivando f(t)=t\cos at pelo produto temos
    f'(t)=\cos at - at\sin at.
    Observação: f(0)=0 porque t em 0 anula o produto.
  2. Aplique a transformada de Laplace à igualdade f'(t)=\cos at - a t\sin at. Pela linearidade:
    \mathcal{L}\{f'\}(s)=\mathcal{L}\{\cos at\}(s)-a\,\mathcal{L}\{t\sin at\}(s).
  3. Use a regra da derivada no tempo para \mathcal{L}\{f'\}: como f(0)=0,
    \mathcal{L}\{f'\}(s)=sF(s)-f(0)=sF(s).
  4. Substitua as transformadas conhecidas:
    sF(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}-a\;\mathcal{L}\{t\sin at\}(s).
  5. Calcule \mathcal{L}\{t\sin at\} usando a propriedade t\cdot g(t)=-\frac{d}{ds}G(s). Com g(t)=\sin at e G(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},
    \mathcal{L}\{t\sin at\}(s)=-\frac{d}{ds}\left(\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right) =-a\cdot\frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right).
    Agora derive:
    \frac{d}{ds}\left(\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\right)=-\frac{2s}{(s^{2}+a^{2})^{2}},
    então
    \mathcal{L}\{t\sin at\}(s)=-a\left(-\frac{2s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right)=\frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
  6. Substitua esse resultado em (4):
    sF(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}-a\cdot\frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{s}{s^{2}+a^{2}}-\frac{2a^{2}s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
  7. Coloque sobre denominador comum (s^{2}+a^{2})^{2}:
    sF(s)=\frac{s(s^{2}+a^{2})-2a^{2}s}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{s^{3}+sa^{2}-2a^{2}s}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{s(s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
  8. Divida por s (lembrando que queremos s>0, então s\neq0 na região de interesse):
    F(s)=\mathcal{L}\{t\cos at\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Isto prova a fórmula pedida.

Passo 4

Agora resolvemos o problema de valor inicial usando transformada de Laplace.
  1. Denotemos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Aplique a transformada à equação
    y''+4y'+13y=e^{-2t}\sin 3t.
  2. Use as fórmulas de transformada das derivadas:
    \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1-2,
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
e \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).
  1. Transforme o lado esquerdo:
    \big(s^{2}Y-s-2\big)+4\big(sY-1\big)+13Y =Y\big(s^{2}+4s+13\big)-s-6.
  2. Transforme o lado direito. Use o teorema do deslocamento: \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin 3t\}(s)=\mathcal{L}\{\sin 3t\}(s+2)=\dfrac{3}{(s+2)^{2}+9}.
  3. Igualando as transformadas:
    Y(s)\big(s^{2}+4s+13\big)-s-6=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
  4. Isolando Y(s):
    Y(s)=\frac{s+6}{(s+2)^{2}+9}+\frac{3}{\big((s+2)^{2}+9\big)^{2}}.
    Observação: escrevi s^{2}+4s+13=(s+2)^{2}+9 para simplificar.

Passo 5

Vamos tomar a antitransformada termo a termo. Denote D(s)=(s+2)^{2}+9.
  1. Primeiro termo: \dfrac{s+6}{D(s)}. Separe: \frac{s+6}{D}=\frac{s+2}{D}+\frac{4}{D}.Inversas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{-2t}\cos 3t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{4}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=4\cdot\frac{1}{3}e^{-2t}\sin 3t=\frac{4}{3}e^{-2t}\sin 3t.
Portanto a antitransformada do primeiro termo é
e^{-2t}\cos 3t+\frac{4}{3}e^{-2t}\sin 3t.

Passo 6

Agora o segundo termo: \dfrac{3}{D(s)^{2}}=\;3\cdot\dfrac{1}{\big((s+2)^{2}+3^{2}\big)^{2}}.
Precisamos da transformada inversa de \dfrac{1}{\big((s+a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}. Vou achar e justificar uma fórmula útil.
Considere a função
g(t)=e^{-at}\big(\sin bt - b t\cos bt\big).
Calcule a transformada de g:
  • \mathcal{L}\{e^{-at}\sin bt\}=\dfrac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
  • \mathcal{L}\{t e^{-at}\cos bt\}=-\dfrac{d}{ds}\!\left(\dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}\right) =\dfrac{(s+a)^{2}-b^{2}}{\big((s+a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}.
Assim
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{b}{D}-b\cdot\frac{(s+a)^{2}-b^{2}}{D^{2}} =\frac{bD-b\big((s+a)^{2}-b^{2}\big)}{D^{2}} =\frac{2b^{3}}{D^{2}},
onde D=(s+a)^{2}+b^{2}. Portanto
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2b^{3}}\,g(t)\right\}=\frac{1}{D^{2}}.
Logo, a inversa desejada é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{\big((s+a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}\right\} =\frac{1}{2b^{3}}\,e^{-at}\big(\sin bt - b t\cos bt\big).

Passo 7

Aplique a fórmula ao nosso caso: a=2, b=3. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{\big((s+2)^{2}+9\big)^{2}}\right\} =\frac{1}{2\cdot 3^{3}}\,e^{-2t}\big(\sin 3t - 3t\cos 3t\big) =\frac{1}{54}e^{-2t}\big(\sin 3t - 3t\cos 3t\big).
Multiplicando por 3 (porque o termo é 3/D^{2}), obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{D^{2}}\right\} =3\cdot\frac{1}{54}e^{-2t}\big(\sin 3t - 3t\cos 3t\big) =\frac{1}{18}e^{-2t}\big(\sin 3t - 3t\cos 3t\big).

Passo 8

Some as duas partes (Passo 5 e Passo 7). A solução y(t) é
y(t)=e^{-2t}\cos 3t+\frac{4}{3}e^{-2t}\sin 3t +\frac{1}{18}e^{-2t}\big(\sin 3t - 3t\cos 3t\big).
Fatorando e^{-2t} e combinando os termos em \sin 3t e \cos 3t:
  • Coeficiente de \cos 3t: 1 do primeiro termo e -\dfrac{1}{6}t do último (pois \dfrac{1}{18}\cdot(-3t)=-\dfrac{1}{6}t).
  • Coeficiente de \sin 3t: \dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{24}{18}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{25}{18}.
Portanto uma forma mais compacta:
y(t)=e^{-2t}\!\left(\cos 3t+\frac{25}{18}\sin 3t-\frac{1}{6}t\cos 3t\right).
Verificação rápida dos dados iniciais: em t=0 obtemos y(0)=1. Derivando e avaliando em 0 y'(0)=2 (pode checar se quiser); portanto as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

\mathcal{L}\{t\cos at\}(s)=\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}},\qquad s>0
y(t)=e^{-2t}\!\left(\cos 3t+\frac{25}{18}\sin 3t-\frac{1}{6}t\cos 3t\right)

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