Encontre os valores extremos (máximo e/ou mínimo) das seguintes funções;
f(x)=2 x^2-3 x-1.

Passo 1

O enunciado pede os extremos da função quadrática
f(x) = 2x^2 - 3x - 1
Para encontrar máximos ou mínimos de uma função suave de uma variável, usamos o teste da derivada: primeiro achamos os pontos críticos onde f'(x)=0 e depois classificamos esses pontos com a segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f. Como f(x)=2x^2-3x-1, vale:
f'(x) = ddx(2x^2) - ddx(3x) - ddx(1) = 4x - 3

Passo 3

Encontramos o ponto crítico resolvendo f'(x)=0:
4x - 3 = 0 Longrightarrow x = 34

Passo 4

Para saber se esse ponto é mínimo ou máximo, usamos a segunda derivada. Calculamos
f''(x) = ddx(4x - 3) = 4
Como f''(x)=4>0 em todo x, a curvatura é para cima e o ponto x=tfrac34 é um mínimo.

Passo 5

Agora determinamos o valor de f nesse ponto:
fl(tfrac34r) = 2l(tfrac34r)^2 - 3l(tfrac34r) - 1 = 2cdottfrac916 - tfrac94 - 1 = tfrac1816 - tfrac3616 - tfrac1616 = -tfrac3416 = -tfrac178

Resposta

A função não tem máximo (vai a +infty nas extremidades) e tem um mínimo em
x = 34, fl(tfrac34r) = -tfrac178

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