Para que valores de
, a equação
possui uma única solução não negativa?
Rta.
.
Rta.
Passo 1
O enunciado pede os valores de
tais que a equação
tenha exatamente uma solução real não negativa. Vamos analisar separadamente os casos em que ela é de grau zero, um ou dois, estudando discriminante e sinais das raízes.
Passo 2
Caso
a equação deixa de ser quadrática e vira
Aqui há uma única solução
, que é não negativa. Portanto
vale.
Passo 3
Agora suponha
. Então é uma quadrática com
O discriminante é
Passo 4
Para ter raízes reais precisamos
, ou seja
Fora desse intervalo não há solução real, logo não cabe.
Passo 5
Dentro de
distinguimos
-
em ou . A raiz dupla é
Para
vem
e para
vem
; ambas são não negativas.
2. para
. Há duas raízes distintas
. Pela Vieta,
2.
Para que exatamente uma delas seja não negativa é preciso que
, ou seja
Passo 6
Reunindo tudo:
- De
vem dá uma raiz positiva e outra negativa. - De
entram (raiz dupla ) e (raiz dupla ). - No caso linear aparece
(solução ).
Portanto a condição final é