Para que valores de alpha, a equação
(alpha-1) x^2-2(alpha+1) x+2(alpha+1)=0,
possui uma única solução não negativa?
Rta. alpha in[-1,1] cup3.

Passo 1

O enunciado pede os valores de alpha tais que a equação
(alpha-1),x^2-2(alpha+1),x+2(alpha+1)=0
tenha exatamente uma solução real não negativa. Vamos analisar separadamente os casos em que ela é de grau zero, um ou dois, estudando discriminante e sinais das raízes.

Passo 2

Caso alpha=1 a equação deixa de ser quadrática e vira
-2(,1+1),x +2(,1+1)=0 Longrightarrow -4x+4=0 Longrightarrow x=1
Aqui há uma única solução x=1, que é não negativa. Portanto alpha=1 vale.

Passo 3

Agora suponha alphaneq1. Então é uma quadrática com
a=alpha-1, b=-2(alpha+1), c=2(alpha+1)
O discriminante é
De<a = b^2-4ac =4(alpha+1)^2-8(alpha-1)(alpha+1) =4(alpha+1)l[(alpha+1)-2(alpha-1)r] =4(alpha+1)(3-alpha)

Passo 4

Para ter raízes reais precisamos De<a>=0, ou seja
(alpha+1)(3-alpha)>=0 Long<=ftrightarrow alphain[-1,3]
Fora desse intervalo não há solução real, logo não cabe.

Passo 5

Dentro de alphain[-1,3]setminus1 distinguimos
  1. De<a=0 em alpha=-1 ou alpha=3. A raiz dupla é
x0=-b2a =2(alpha+1)2(alpha-1) =alpha+1alpha-1
Para alpha=-1 vem x0=0 e para alpha=3 vem x0=2; ambas são não negativas.
2. De<a>0 para alphain(-1,3)setminus1. Há duas raízes distintas x1,x2. Pela Vieta,
x1x2=ca=2(alpha+1)alpha-1
Para que exatamente uma delas seja não negativa é preciso que x1x2<0, ou seja
alpha+1,alpha-1,<0 Long<=ftrightarrow alphain(-1,1)

Passo 6

Reunindo tudo:
  • De De<a>0 vem alphain(-1,1) dá uma raiz positiva e outra negativa.
  • De De<a=0 entram alpha=-1 (raiz dupla 0) e alpha=3 (raiz dupla 2).
  • No caso linear aparece alpha=1 (solução x=1).
Portanto a condição final é
alphain[-1,1];cup;3

Resposta

alphain[-1,1]cup3.

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