Exercício 1: Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
, sendo dados
e
, onde
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
onde
Conteúdo: usar transformada de Laplace, representação de
f(t) com degrau unitário e teorema do retardo.
Passo 2
Escrevemos
onde
u é o degrau de Heaviside. Assim
Passo 3
Aplicando Laplace em
y''+4y=f(t) e usando
com
y(0)=0 ,
y'(0)=-1 , vem
isto é
Passo 4
Logo
Decompondo
temos
A=1/4 ,
B=-1/4 ,
C=-1 . Então
Isso define
Passo 5
Invertendo
Y1(s) :
Para a segunda parte
G(s)=1/[s(s^2+4)] a mesma decomposição dá
Pelo teorema do retardo,
Passo 6
Então a solução é
ou seja
Resposta
Para
0<= t<1 :
Para
t>=1 :