Exercício 1: Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime+4 y=f(t), sendo dados y(0)=0 e y^prime(0)=-1, onde
f(t)=cc 1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=-1,
onde
f(t)= 1,&0<= t<1, 0,&t>=1
Conteúdo: usar transformada de Laplace, representação de f(t) com degrau unitário e teorema do retardo.

Passo 2

Escrevemos
f(t)=1 - u(t-1),
onde u é o degrau de Heaviside. Assim
F(s)= Lf(t) =1s - e^-ss =1 - e^-ss

Passo 3

Aplicando Laplace em y''+4y=f(t) e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly=Y(s),
com y(0)=0, y'(0)=-1, vem
s^2Y(s)-0 -(-1) +4Y(s) = 1-e^-ss,
isto é
Y(s),(s^2+4)=1-e^-ss -1 =1 - e^-s - ss

Passo 4

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Y(s) =1 - s - e^-ss(s^2+4) =1-ss(s^2+4) ;-;e^-ss(s^2+4)
Decompondo
1-ss(s^2+4) =As+B,s+Cs^2+4,
temos A=1/4, B=-1/4, C=-1. Então
1-ss(s^2+4) =14s-s4(s^2+4)-1s^2+4
Isso define
Y1(s)=14s-s4(s^2+4)-1s^2+4

Passo 5

Invertendo Y1(s):
y1(t) =14 -14cos(2t) -12sin(2t)
Para a segunda parte G(s)=1/[s(s^2+4)] a mesma decomposição dá
g(t)=14-14cos(2t)
Pelo teorema do retardo,
L^-1!le^-sG(s)r =g(t-1),u(t-1)

Passo 6

Então a solução é
y(t)=y1(t);-;g(t-1),u(t-1),
ou seja
y(t)= 14-14cos(2t)-12sin(2t) ;-;l(14-14cosl(2(t-1)r)r),u(t-1)

Resposta

Para 0<= t<1:
y(t)=14-14cos(2t)-12sin(2t)
Para t>=1:
y(t) =-14cos(2t)-12sin(2t) +14cosl(2(t-1)r)

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